Límite de intercambio y la integración cuando los límites de integración dependen de un parámetro

Question

Esta es otra pregunta acerca de cuándo es permisible para el intercambio de los límites y las integrales. Estoy interesado en la situación de que los límites de integración dependen de algún parámetro y, a continuación, el límite se toma con respecto a dicho parámetro.

Supongamos que uno tiene una función $f(x,t)$ donde $t$ es algún parámetro. Funciones de $a(t)$ $b(t)$ dar los límites de integración. Deje $a(t) \to a$$b(t) \to b$$t \to T$. Estoy interesado en las condiciones suficientes que justifican alegando que $$ \lim_{t \T} \int_{a(t)}^{b(t)} f(x, t) \, \mathrm{d}x= \int_a^b f(x,T) \, \mathrm{d} x. $$

Bien-versiones conocidas de las recetas para el intercambio de límite y la integral (Monotonía de la Convergencia y la Convergencia Dominada Teoremas), parecen asumir que la región de integración es constante, es decir, $a(t) = a$ $b(t) = b$ todos los $t$.

Answer 1

Voy a dar una respuesta parcial para el caso de $ f $ ser continua en el compacto $\mathbb{X}\times\mathbb{T}\subset\mathbb{R}^2$. Espero que pueda ayudarte.

La proposición Deje $f:\mathbb{X}\times\mathbb{T}\to \mathbb{R}$ es función continua y $\mathbb{X}$ $\mathbb{T}$ compacto intervalos de $\mathbb{R}$. Deje $a:\mathbb{T}\to\mathbb{X}$ $b:\mathbb{T}\to\mathbb{X}$ función continua en $T$ tal que $\lim_{t\to T}a(t)=a$$\lim_{t\to T} b(t)=b$. Entonces $$ \lim_{t\T}\int^{b(t)}_{a(t)}f(x,t) \mathrm d x = \int^{b}_{a}f(x,t) \mathrm d x $$

La prueba Por parte de Stone–Weierstrass aproximación teorema hay una secuencia $\{p_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ de polinomios en álgebra $\mathcal{P}$ de polinomios (que separa los puntos y contenido constantes) dada por $$ \mathcal{P}=\left\{p\in C^0(\mathbb{K}\times\mathbb{T}): p(x,t)=\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^{J}c_{ij}t^ix^j,\quad 0<|e|<\infty, 0<|J|<\infty, c_{ij}\in\mathbb{R}\right\} $$ tal que la secuencia de polinomios converge uniformemente a la función $f$ es decir $$ \lim_{n\to\infty}\sup_{(t,x)\in K}\|p_n(t,x)-f(t,x)\|=0. $$ Supongamos $a$ $b$ son funciones continuas, $a(t),b(t)\in\mathbb{X}$$T\in\mathbb{T}$. Ahora es fácil probar que, $$ \lim_{t \T}\; \int_{a(t)}^{b(t)} p(x, t) \, \mathrm{d}x= \int_a^b p(x,T) \, \mathrm{d} x \quad \forall p\in\mathcal{P}. $$ Ahora uso el hecho de que los y las propiedades de convergencia uniforme en \begin{align} \lim_{t\to T}\int^{b(t)}_{a(t)}f(x,t) \; \mbox{d}x = & \lim_{t\to T}\int^{b(t)}_{a(t)}\lim_{n\to\infty}p_n(x,t) \; \mbox{d}x \\ = & \lim_{t\to T}\lim_{n\to\infty}\int^{b(t)}_{a(t)}p_n(x,t) \; \mbox{d}x \\ = & \lim_{n\to\infty}\lim_{t\to T}\int^{b(t)}_{a(t)}p_n(x,t) \; \mbox{d}x \\ = & \lim_{n\to\infty}\int^{b}_{a}p_n(x,T) \; \mbox{d}x \\ = & \int^{b}_{a}\lim_{n\to\infty}p_n(x,T) \; \mbox{d}x \\ = & \int^{b}_{a}f(x,T) \; \mbox{d}x \\ \end{align}