Prueban positivo $x,y$ $\left(\frac{1}{1+x}\right)^2+\left(\frac{1}{1+y}\right)^2\ge\frac{1}{1+xy}$ de satisfacer.

Question

Demostrar que positivo satisfacer a $x,y$ $$\left(\frac{1}{1+x}\right)^2+\left(\frac{1}{1+y}\right)^2\ge\frac{1}{1+xy}$ $

Mi profesor dice que este lema es a menudo útil. Me pregunto, sin embargo: ¿cómo probarlo?

He probado usando $a^2+b^2\ge 2ab$ y $a^2+b^2\ge \frac{(a+b)^2}{2}$ y $\frac{a_1^2}{b_1}+\frac{a_2^2}{b_2}+\ldots+\frac{a_n^2}{b_n}\ge \frac{(a_1+a_2+\ldots+a_n)^2}{b_1+b_2+\ldots+b_n}$, pero no sirven.

Se agradecería alguna idea.

Answer 1

No es particularmente elegante, pero si multiplicas todo, consigues $$x^3y+xy^3+1\ge x^2y^2+2xy$ $ y eso es justo $2$ simple AM-GM desigualdades $$x^3y+xy^3\ge2x^2y^2$ $ $$x^2y^2+1\ge2xy$ $

Answer 2

Un enfoque posible: podemos dividir en los casos.

Caso 1: $x,y \geq 1$ o $x,y \leq 1$

El uso de $a^2+b^2\ge 2ab$, lo que produce $$ \left(\frac{1}{1+x}\right)^2+\left(\frac{1}{1+y}\right)^2\ge\frac{2}{1+x+y+xy} $$ Entonces, debemos mostrar que $$ \frac{2}{1+x+y+xy}\geq \frac{1}{1 + xy} \ffi\\ 2 + 2xy \geq 1 + x + y + xy \ffi\\ 1 - x - y + xy \geq 0 \ffi\\ (x-1)(y-1) \geq 0 $$

Caso 2: De Otra Manera

No está seguro de qué hacer aquí todavía. Espero que esta respuesta parcial puede ser útil.