Hay una declaración como $\sin\left(\frac1{n^k}\right) < \frac1{n^k} \forall n,k\in \mathbb{N}$

Question

Me estoy haciendo un repaso para el examen y pensé que podría necesitar el uso de algo como esto. Es esto cierto? Si no, hay una declaración similar, y si es así, ¿cómo podemos demostrarlo? $$\sin\left(\frac1{n^k}\right) < \frac1{n^k} \forall n,k\in \mathbb{N}$$

Yo no la puede encontrar en el sitio o en mi libro de texto, pero parece ser una suposición utiliza un poco (o alguna variación de ella). Estoy asumiendo que si es cierto que se puede mejorar a decir que para todos los números reales mayores que 1? O incluso mejor?

Traté de comprobar en wolfram, pero no estoy seguro de cómo hacer una pregunta y hacerla aceptar las condiciones : http://www.wolframalpha.com/input/?i=is+sen%281%2Fn%29+%3C+1%2Fn

Answer 1

Considerar el $f(x)=\sin(x)-x$. Tenga en cuenta que $f(0)=0$ y que $f'(x)=\cos(x)-1\le 0$, por lo que $f$ es decreciente, es decir, $f(x)\le0$ % todos $x\ge0$o $\sin(x)\le x$. En particular, $$ \sin\left(\frac1{n^k}\right)\le\frac1{n^k}.$ $

De hecho, la desigualdad es estricta, ya que de lo contrario cumple con $t=1/n^k$ $f(t)=0$. Pero entonces $f(0)=f(t)$ y, por el teorema del valor medio, existe un $s$ entre $0$y $t$ $f'(s)=0$. $\cos(x)<1$ % Todo $x\in(0,2\pi)$y $1/n^k<2\pi$.

Answer 2

Es cierto. Notó por primera vez eso si $0 < x < \pi/2$, tenemos $0 < \sin(x) < x$. Esto sucede por el siguiente argumento. El % de punto $(\cos(x), \sin(x))$es el punto de llegar a viajando distancia $x$ a lo largo del círculo de la unidad hacia la izquierda de $(1,0)$. Por lo tanto $\sin(x)$ es la distancia vertical de $(\cos(x), \sin(x))$ $x$ - eje. Desde esta distancia vertical es la ruta más corta desde $(\cos(x), \sin(x))$ a $x$-ejes, tenemos $0 < \sin(x) < x$ $0 < x < \pi/2$.

Ahora $x = 1/n^k$, y lo hecho.

Answer 3

$\sin(x) < x$ % todo $x > 0$, que incluye lo que usted acaba de decir. La prueba utiliza el derivado:

Que $f(x) = x - \sin x$. Entonces $f'(x) = 1 - \cos x \geq 0$ % todos $x$. Puesto que sólo es igual a 0 en un punto aquí y allá, $2n\pi$ $n \in \mathbb{Z}$, sabemos que va en aumento todos $f$ $x$. Desde $f(0) = 0$, vemos que el $f(x) > 0$ % todo $x > 0$, que es lo mismo que $x > \sin x$.

Answer 4

Mira la función $\frac{\sin(x)}{x} $ en el intervalo $(0,1)$ y optimizar tomando derivados y tal. Usted encontrará la que $\frac{\sin(x)}{x}<1$ con la '' máxima '' logró cuando $x\to 0.$ ahora con una pequeña álgebra deben recibir $\sin(x)<x.$

Ahora observe que $0<\frac{1}{n^k}<1$ cada $n,k\in \mathbb{N}.$ por lo tanto, podemos elegir $x=\frac{1}{n^k}$ y obtendrá la desigualdad deseada.