problema sobre límites y continuidad

Question

Que $f\colon\mathbb R \to \mathbb R$ ser una función continua.

Supongamos que $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$.

Demostrar que $f$ tiene un mínimo, es decir, $\exists x_0 \in \mathbb R: \forall x \in \mathbb R f(x) \geq f(x_0)$:

Mi solución:

Supongo que $\exists x_0 \in \mathbb R:\forall x \in\mathbb R: f(x) \geq f(x_0)$ es falsa. Entonces, $\forall x_0 \in \mathbb R: \exists x\in\mathbb R: f(x) < f(x_0)$ (1).

$\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty \implies \forall \varepsilon >0: \exists M>0: x>M \implies f(x) > \varepsilon$.

En particular, $\varepsilon=f(x_0)$, tenemos $f(x)>f(x_0)$, que es un absurdo, porque contradice la hipótesis (1).

Por lo tanto $\exists x_0 \in \mathbb R: \forall x\in\mathbb R:f(x) \geq f(x_0)$

I´d gustaría escuchar de usted si mi solución es correcta o no.

Answer 1

$f$ es continua y $\lim_{x\to \infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty$, elija una arbitray $y_0\in \mathbb{R}$, por lo que no es un $M_1$ que si $x>M_1$ $f(x)>f(y_0)$ $M_2>0$ que si $x<-M_2$ $f(x)>f(y_0)$, . Ahora, observa que $[-M_2,M_1]$ es compacto, y $f$ es continuo, por lo tanto tiene un máximo y un mínimo, en este conjunto. Y el mínimo de $x_0 \in [-M_2,M_1] $ es global porque si $ x\in [-M_2,M_1] $$ f(x)\geq f(x_0)$, y porque nuestros elegir tenemos que $y_0\in[-M_2,M_1]$ $f(x_0)\leq f(y_0)$ . Ahora si $x \in \mathbb{R} - [-M_2,M_1] $$f(x)> f(y_0)\geq f(x_0)$. Y usted tiene un mínimo global.

Una observación en su respuesta es que: Decir que la negativa de la instrucción: $f$ tiene un mínimo de es $f$ no tiene un mínimo. Lo que se hace es elegir un elemento y demostrando que no es un máximo, ya que encontrar una $x$ tal que $f(x)>f(x_0)$, y no se soluciona el problema, ¿ves?

Answer 2

He aquí cómo he de proceder: escoja cualquier $x_0 \in R$; si, para todos los $x \in R$ tenemos $f(x) \ge f(x_0)$, claramente estamos hecho: $x_0$ es un requisito mínimo. Por otro lado, si no existe $x \in R$$f(x) < f(x_0)$, entonces el conjunto $S$ de todos los $x$, $S = \{x \in R, f(x) < f(x_0)\}$, claramente es no vacío. Ahora desde $f(x) \to \infty$ $x \to \pm \infty$ existe $M \in R$ $f(x) > f(x_0)$ fuera del intervalo cerrado $[-M, M]$; esta es una forma inmediata y sencilla consecuencia de la definición de la frase $f(x) \to \infty$$x \to \pm \infty$. La restricción $f$ para el intervalo compacto $[-M, M]$, podemos invocar el resultado estándar que una función continua en un conjunto compacto alcanza su máximo y mínimo en ese conjunto. Por lo tanto no debe ser $y \in [-M, M]$ $f(y) \le f(x)$ cualquier $x \in [-M, M]$. Pero fuera de $[-M, M]$, $f(x) > f(x_0)$, por lo tanto $S \subseteq [-M, M]$, e $y \in S$ debe ser en realidad un mínimo global para $f$.

Espero que esto está claro; mi introducción y el uso de $S$ puede ser un poco incómodo, pero no tengo tiempo para pulir esta respuesta ahora.