Describir la estructura de los Sylow $2$-subgrupos del grupo simétrico de grado $22$

Question

Describir la estructura de los Sylow $2$-subgrupos del grupo simétrico de grado $22$.

Lo único que he conseguido deducir sobre la estructura de $P\in \operatorname{Syl}_p(G)$ es que $|P| = 2^{12}$.

Ayuda por favor :)

Edit: obviamente no puedo contar. Tonto, (por alguna razón) sólo conté $8$ % un $2$y $16$ % un $2$. Pero lo puedo decir ahora, $2^{17}$ es dividiendo la potencia más alta de $2$ $22$.

Answer 1

Primero vamos a considerar el caso de Sylow 2-subgrupos de grupos simétricos de grado $2^k$. Afirmo que el Sylow 2-subgrupos de $S_{2^k}$ son isomorfos a la automorphism grupo$G_k$$T_k$, la completa, arraigada árbol binario de profundidad $k$ (habiendo $2^k$ hojas).

Desde un automorphism de $T_k$ está determinado únicamente por la automorfismos de los dos subárboles de la raíz, junto con una decisión de si para el intercambio de los subárboles de la raíz, tenemos $|G_k| = 2 |G_{k-1}|^2$. Desde $|G_0|=1$, por inducción, $|G_k|$ es siempre una potencia de 2. Además, $G_k$ mapas injectively en $S_{2^k}$ (mediante el envío de un automorphism a la permutación se induce en las hojas de $T_k$), por lo $S_{2^k}$ tiene un 2-subgrupo con el fin de $G_k$. Por último, es fácil comprobar que el orden de la Sylow 2-subgrupo de $S_{2^k}$ cumple la misma relación de recurrencia que es satisfecho por $|G_k|$. Esto demuestra la reclamación.

Para el caso general de $S_n$, escribir $n$ como una suma de distintas potencias de 2, y tomar el producto directo de la Sylow 2-subgrupos para cada uno. Por ejemplo, el Sylow 2-subgrupos de $S_{14}$ es isomorfo al producto directo de la Sylow 2-subgrupos de $S_8$, $S_4$, y $S_2$.

Answer 2

Yo muy avala Ted respuesta. Sólo en caso de que usted aprecia a una lista concreta de los generadores y/o desea una muy elemental enfoque, voy a dar una lista mientras caminaba a través de este ejercicio. El tamaño de la Sylow 2-subgrupo de $S_n$ (como una función de la $n$) crece cuando $n$ es incluso. Como se observa (por stuyding la mayor potencia de dos que divide $n!$) ocurre algo especial, siempre que llegamos a una potencia de dos.

Empezar con la permutación $g_1=(12)$ que genera el Sylow 2-subgrupo de $P_1$$S_2$. Que también va a hacer para $S_3$, pero vamos a pasar algún tiempo con $S_4$, y ver cómo podemos construir su Sylow 2-subgrupo, se $P_2$$P_1$. Considere la posibilidad de la permutación $g_2=(13)(24)$. Aviso que es de los intercambiadores de la "mitad inferior" ($=\{1,2\}$) con la "mitad superior" ($=\{3,4\}$) de un conjunto $\{1,2,3,4\}$ elementwise. Vemos que la permutación $g_1'=g_2g_1g_2^{-1}=(34)$ solo genera una copia de $P_1$, se $P_1'$, que actúa en la mitad superior, es decir, un Sylow 2-subgrupo de $\mathrm{Sym}(\{3,4\})$. Los dos grupos de $P_1$ $P_1'$ actuar en distintos subconjuntos (=las dos mitades), por lo que conmuta con cada uno de los otros, y podemos formar su producto directo de $P_1\times P_1'$ dentro $S_4$. Como $g_2$ es de orden dos, repitiendo la conjugación le da la espalda a $g_1=g_2g_1'g_2^{-1}$. Esto significa que $g_2$ es en el normalizador del grupo $P_1\times P_1'$. De ello se desprende que el subconjunto $$ P_2=(P_1\times P_1')\cup g_2(P_1\times P_1') $$ es cerrado bajo la multiplicación y, por tanto, un subgrupo de $S_4$ del tamaño deseado 8. A partir de las relaciones anteriores se deduce que $P_2$ es generado por $g_1$$g_2$. También recuperamos el hecho de que $P_2$ es el diedro del grupo: por ejemplo, $g_1g_2=(1324)$ es un 4-ciclo. Hacer observar que usted necesita para el número de vértices de un cuadrado en un no de la forma más obvia para darse cuenta de $P_2$ como el diedro grupo. En lo que sigue nos olvidamos de simetrías de los objetos geométricos.

El siguiente es $S_6$. Esto es fácil, porque además de a $P_2$ sólo tenemos que agregar la otra copia de $P_1$, es decir, la generada por $g_1''=(56)$, llamar a este grupo de $P_1''$. Los grupos de $P_2$ $P_1''$ mover los diferentes elementos de $\{1,2,3,4,5,6\}$, por lo que desplazarse dentro de $S_6$, y su producto directo de $P_2\times P_1''$ es un grupo de orden 16. Por lo tanto debe ser un Sylow 2-subgrupo de $S_6$.

La historia comienza realmente con $S_8$. Vamos a presentar una nueva permutación $g_3=(15)(26)(37)(48)$. Como antes, podemos ver que este fin de dos permutación intechanges la mitad inferior ($=\{1,2,3,4\}$) y la mitad superior ($=\{5,6,7,8\}$) de un conjunto $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ elementwise. Por lo tanto, las permutaciones $g_3g_1g_3^{-1}=(56)$ $g_3g_2g_3^{-1}=(57)(68)$ generar una copia de $P_2$ actuando en la mitad superior, se $P_2'$. Como en el caso de $S_4$ vemos que $g_3$ normaliza el producto directo de los $P_2\times P_2'$, y el conjunto $$ P_3=(P_2\times P_2')\cup g_3(P_2\times P_2') $$ es entonces, un grupo de orden $2\cdot8^2=2^7$. Como $2^7$ es la potencia máxima de dos dividir $8!$, $P_3$ debe ser un Sylow 2-subgrupo de $S_8$. Además, las permutaciones $g_1,g_2,g_3$ ya generar todos los de $P_3$.

De pasar nos saltamos todo el camino a $S_{16}$, e introducir otra permutación de orden dos $$ g_4=(19)(2A)(3B)(4C)(5D)(6E)(7F)(8G). $$ Para evitar cualquier confusión he usado solo carácter de sustitutos de los números enteros en el rango de $[10,16]$, por lo que $A=10$, $B=11$, $\ldots, G=16$, y $g_4$ de los intercambiadores de la mitad inferior (1 a 8) con la mitad superior (9 a 16). Es la misma historia de nuevo. El grupo $P_3'=g_4P_3g_4^{-1}$ es una copia de $P_3$ actuando en la mitad superior, es decir, un Sylow 2-subgrupo de $\mathrm{Sym}(\{9,10,\ldots,16\})$. También el conjunto $$ P_4=(P_3\times P_3')\cup g_4(P_3\times P_3') $$ es fácilmente visto como un subgrupo de $S_{16}$. Es generado por $g_1,g_2,g_3,g_4$ y su orden es $2\cdot(2^{7})^2=2^{15}$ está apenas a la derecha para que sea una Sylow 2-subgrupo de $S_{16}$.

En la final se obtiene un Sylow 2-subgrupo de $S_{22}$ como un producto directo de tres subgrupos: una copia de $P_4$ que actúa sobre el subconjunto $\{1,2,\ldots,16\}$, una copia de $P_2$ que actúa sobre el subconjunto $\{17,18,19,20\}$ y, finalmente, una copia de $P_1$ que actúa sobre el subconjunto $\{21,22\}$. Este grupo es generado por $g_1,g_2,g_3,g_4$, $(17;18)$, $(17;19)(18;20)$ y $(21;22)$. Su fin es $2^{15}\cdot2^3\cdot2=2^{19}$, que también es la mayor potencia de dos dividiendo $22!$.