Resolver ecuación Modular $5x \equiv 6 \bmod 4$

Question

Aquí está una ecuación modular

$$5x \equiv 6 \bmod 4$$

Y yo lo puedo resolver, $x = 2$.

Pero, ¿y si cada lado de la ecuación anterior de veces 8, que tiene este aspecto

$$40x \equiv 48 \bmod 4$$

Al parecer, ahora, $x = 0$. ¿Por qué es eso? Yo no soy la solución de la ecuación modular de una manera correcta, o debo dividir ambos lados con su máximo común divisor antes de resolverlo?

P. S.

Para aclarar, yo estaba resolviendo un sistema modular de ecuaciones, usando Eliminación Gaussiana, y después de la aplicación de la eliminación de los coeficientes de la matriz, la última fila de la echelon-forma de la matriz es :

$$0, \dots, 40 | 48$$

pero creo que cada fila en el escalón-formulario debe estar dividido por su máximo común divisor, que la convierte en :

$$0, \dots, 5 | 6$$

Pero al parecer el resultado en soluciones diferentes, una es $x = 0,1,2,3....$, el otro $x = 2$. Y ¿por qué? Estoy aplicando Gauss-Eliminación de malo?

Answer 1

Clases de equivalencia modular son multiplicativas. Por lo tanto, desde $40 \equiv 0 (\text{mod } 4)$ y $48 \equiv 0 (\text{mod } 4)$, todo lo que han escrito hay $0\cdot x \equiv 0 (\text{mod } 4)$, lo cual es cierto para cualquier $x \in \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ (el conjunto de clases de equivalencia % mod $4$). $x = 0$ no es la única "solución", pero eso es porque como la ecuación es efectivamente tautológica - no hay nada para "resolver" para.

Answer 2

La congruencia $40x\equiv48\pmod4$ significa que $4\mid40x-48$. Pero $40x-48=4(10x-12)$, así que esto es siempre cierto: $40x\equiv48\pmod4$ para todos los enteros $x$. Por lo tanto, $x\equiv0\pmod4$ es no sólo la solución.

Agregado: Si usted tiene la congruencia $ax\equiv b\pmod m$, e $d$ es un divisor común de a$a$$b$, sencillamente, no se puede dividir por $d$ y decir que

$$\frac{a}dx\equiv\frac{b}d\!\!\!\!\pmod m\;;$$

no es cierto en general. Sin embargo, si $d$ es un divisor común de a $a,b$, e $m$, el original de la congruencia es equivalente a la congruencia

$$\frac{a}dx\equiv\frac{b}d\left(\bmod \frac{m}d\right)\;.$$

Aquí usted puede tomar $d=4$ a reducir el problema original a la solución de $10x\equiv12\pmod1$, y dado que todos los números enteros son congruentes el uno al otro mod $1$, de nuevo llegar a la conclusión de que $x$ puede ser cualquier número entero.

Answer 3

Tenga en cuenta que en multiplicar cada lado de la original de la congruencia por $8$, se multiplica la congruencia por un múltiplo del módulo, $4$, por lo tanto, desde el $4\mid 8$, ambos lados están por lo tanto divisible por $4$, es decir, a cada lado de la congruencia, entonces es un múltiplo del módulo, y de manera congruente, por definición, a $0$. Así que la segunda congruencia ecuación tiene un diferente conjunto de soluciones.

Si se había multiplicado de ambos lados de la original de la congruencia, decir $3$, que habría mantenido el conjunto solución de $x$, $\text{mod}\;4$

Answer 4

Sugerencia: mod $\,4\!:\,\ 40\equiv 0\equiv 48,\ $ % que $\,\ 40\cdot x\equiv 48\iff 0\cdot x\equiv 0,\ $verdad todas $\,x.$

En general, escala una ecuación por un factor de noninvertible puede aumentar el conjunto de soluciones.