¿Es la integración por las piezas el mejor método para $\int_0^1 x^3(1-x)^6 dx$?

Question

Subió al encontrar una constante tales que el integral es igual a 1 y así se comporta como un pdf. He usado el método de partes pero han cometido un error, sólo por curiosidad cómo otros pueden abordar el problema.

Answer 1

La función beta es la mejor idea.

$$\beta(a, b) = \int_{0}^{1} x^{a-1}(1-x)^{b-1} dx$$

Aquí $I$, que $a = 4, b = 7$

Uso de:

$$\beta(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$$

$$\beta(4, 7) = \frac{\Gamma(4)\Gamma(7)}{\Gamma(11)} = \frac{3!6!}{10!}$$

$$= \frac{3\cdot2\cdot1}{10\cdot9\cdot8\cdot7} = \frac{1}{840}$$

Answer 2

De esta manera podría ser más rápida, pero en última instancia, depende de tus preferencias personales.

Que $u = 1-x$. Entonces el integral se convierte en:

$$\int (u-1)^3u^6 \, \mathop{d}u$$

Y que la expansión es mucho más fácil trabajar con que la original!

Answer 3

Por simetría,

\begin{align} \int_0^1 x^3(1-x)^6\,\mathrm{d}x &= -\int_1^0x^6(1-x)^3\mathrm{d}x\\ &=-\int_0^1 (x-1)^3x^6\,\mathrm{d}x \\ &=-\int_0^1 x^9-3x^8+3x^7-x^6 \,\mathrm{d}x\\ &=-\left(\frac{1}{10}-\frac{1}{3}+\frac{3}{8}-\frac{1}{7}\right)+0\\\\ &=-\frac{84-280+315-120}{840}\\ &=\boxed{\displaystyle\frac{1}{840}} \end {Alinee el}

Answer 4

A lo largo de las líneas de Kaj, creo que el más rápido es simplemente ampliar: $ \int x ^ 3(1-x) ^ 6 = \int (1-u) ^ 3u ^ 6 = \int u ^ 6-3u ^ 7 + 3u ^ 8-u ^ 9 = \frac {1} {7}-\frac {3} {8} + \frac {3} {9}-\frac {1} {10}. $$

Answer 5

Si nos damos cuenta de la integral es parte de la distribución Beta: %#% $ de #% encontramos $$\frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1},0<x<1$. También sabemos que la integral de cualquier pdf es igual a $\alpha=4,\beta=7$ y así esta nuestro coeficiente debe ser el inverso del resultado.