Ordinales finitos al poder un = un

Question

Que $\alpha>\omega$ ser un ordinal tal que $2^\alpha$ = $\alpha$.

¿$\alpha$ Es un número de epsilon?

He tratado de muchas maneras diferentes, pero sólo puedo trabajar con el lado izquierdo del $\alpha$(e.g, I have proved such ordinals satisfy $\omega$$\alpha$ = $\alpha$ and etc), pero creo que es fundamental para trabajar con el lado derecho de $\alpha$ en la prueba y no puedo manejar esto... Ayuda

Además quiero saber aún cuando la base no es 2 sino finito, si $\alpha$ es un número de epsilon

Answer 1

Lema: $2^{\omega\alpha}=\omega^\alpha.$

Prueba: Dado $2^{\omega\alpha}=\omega^\alpha,$ tenemos $2^{\omega(\alpha+1)}=2^{\omega\alpha+\omega}=\omega^{\alpha+1},$ donde la primera igualdad es, por definición de la función $\omega x$ y la segunda es por la hipótesis y el cálculo del límite de $2^{\omega\alpha+n}.$

En el límite de los números ordinales, es cierto debido a que la composición de funciones continuas es continua.$\square$

Escrito $\alpha$ en forma normal de Cantor a base $\omega,$ si $\alpha$ tiene $\omega^n$ términos para finitos $n,$ $2^\alpha>\alpha$ por la normalidad de $2^x$ e inspección:

Desde $2^x$ es una función normal, sabemos $2^\alpha\geq\alpha.$ la Adición de 1 en el exponente es la multiplicación por 2; $\omega$ en el exponente es la multiplicación por $\omega;$ $\omega^2$ los rendimientos de la multiplicación por $\omega^\omega$ (todos estos son entendidas como en el de la derecha). Todas estas producir grandes números ordinales.

Si $\alpha$ no tiene ningún tipo de $\omega^n$, $\alpha=\omega\alpha$ si $2^{\alpha}=\alpha$ $\alpha=\omega^\alpha$ por el lema; esta es la definición de la propiedad de una $\epsilon$-número.

Tenga en cuenta que el mismo se aplica a cualquier finito base.