Racionalización de $\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

Question

Pregunta:

$$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$$ es igual a:

Mi enfoque:

Intenté racionalizar el denominador multiplicándolo por $\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}$. Y obtuve el resultado (después de un largo cálculo):

$$\frac{\sqrt{24}+\sqrt{40}-\sqrt{16}}{\sqrt{12}+\sqrt{5}}$$

lo cual no concuerda en absoluto con la respuesta, $\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}$.

¿Alguien puede explicarme esto/darme pistas?

Answer 1

Lo que haría es multiplicar por el primer término más el conjugado de los dos últimos términos. He coloreado las partes importantes de la siguiente expresión para que sea más fácil de entender. $$\frac{2\sqrt{6}}{\color{green}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+}\color{red}{\sqrt{5}}}\cdot\frac{\color{green}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-}\color{red}{\sqrt{5}}}{\color{green}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-}\color{red}{\sqrt{5}}}$$ $$\frac{2\sqrt{6}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5})(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}$$ ¿Por qué hago esto, preguntas? Recuerda la fórmula de la diferencia de cuadrados: $$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$ En realidad estoy dejando que $a=\color{green}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$ y $b=\color{red}{\sqrt{5}}$. Por lo tanto, nuestra fracción puede ser reescrita como: $$\frac{2\sqrt{6}\sqrt{2}+2\sqrt{6}\sqrt{3}-2\sqrt{6}\sqrt{5}}{(\color{green}{\sqrt{2}+\sqrt{3}})^2-(\color{red}{\sqrt{5}})^2}$$ $$=\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{2}-2\sqrt{30}}{2+2\sqrt{6}+3-5}$$ ¡Oh. Qué bueno. ¡Los enteros en el denominador se cancelan! $$\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{2}-2\sqrt{30}}{2\sqrt{6}}$$ Multiplica por $\dfrac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}$ $$\frac{4\sqrt{3}+6\sqrt{2}-2\sqrt{30}}{2\sqrt{6}}\cdot\frac{2\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}$$ $$=\frac{8\sqrt{3}\sqrt{6}+12\sqrt{2}\sqrt{6}-4\sqrt{30}\sqrt{6}}{(2\sqrt{6})^2}$$ $$=\frac{\color{red}{24}\sqrt{2}+\color{red}{24}\sqrt{3}-\color{red}{24}\sqrt{5}}{\color{red}{24}}$$ $$=\frac{\color{red}{24}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{\color{red}{24}}$$ Cancela el $24$ en el numerador y denominador y obtienes: $$\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}$$ $$\displaystyle \color{green}{\boxed{\therefore \dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}}$$

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En realidad hay una forma mucho más corta. Volvamos a la fracción $$\frac{2\sqrt{6}\sqrt{2}+2\sqrt{6}\sqrt{3}-2\sqrt{6}\sqrt{5}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}$$ $$=\frac{2\sqrt{6}\sqrt{2}+2\sqrt{6}\sqrt{3}-2\sqrt{6}\sqrt{5}}{2+2\sqrt{2}\sqrt{3}+3-5}$$ $$=\frac{\color{red}{2\sqrt{6}}\sqrt{2}+\color{red}{2\sqrt{6}}\sqrt{3}-\color{red}{2\sqrt{6}}\sqrt{5}}{\color{red}{2\sqrt{6}}}$$ ¿Ves que podemos factorizar $2\sqrt{6}$ en el numerador? $$\frac{\color{red}{2\sqrt{6}}(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{\color{red}{2\sqrt{6}}}$$ Cancela $2\sqrt{6}$ en el numerador y el denominador, y obtienes: $$\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}$$ $$\displaystyle \color{green}{\boxed{\therefore \dfrac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt3+\sqrt5}=\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}}$$

¡Espero haber ayudado!

Answer 2

Su "cálculo largo" obviamente fue incorrecto, ya que el denominador debería ser

$$(\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5)(\sqrt 2 - (\sqrt 3 + \sqrt 5))=\\=\sqrt2^2 - (\sqrt 3 + \sqrt 5)^2 = 2 - (3 + 5 + 2\sqrt{15}) = -6-2\sqrt{15}$$

Answer 3

$$\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5}}$$

$$=\frac{2\sqrt{6}\cdot(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-5}=\frac{2\sqrt{6}\cdot(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{5+2\sqrt{6}-5}$$

$$=\frac{2\sqrt{6}\cdot(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{2\sqrt{6}}$$

Cancelando esos $2\sqrt{6}$ terminarías con el resultado requerido...

¿Puedes verlo al menos ahora?

Answer 4

Pista $\ (\sqrt a\!+\!\sqrt b\, + \sqrt c)(\sqrt a\! +\!\sqrt b\, - \sqrt c)\, =\, a\!+\!b\!-\!c+2\sqrt{ab}\ \ (=\, 2\sqrt{ab}\ \ {\rm si}\ \ a+b=c)$