Número de soluciones $X^{2}=X$

Question

La ecuación de $x^{2}=x$ % tiene sólo el % de soluciones de $,x\in \mathbb{R}$% #% y $x=0$.

Para una matriz de $x=1$ X, ¿cuántas soluciones $2 \times 2$ tiene?

¿Qué pasa si $X^{2}=X$ es simétrica?

Answer 1

Una infinidad de soluciones. Y un montón de estructura. Desde que dijo "simétrico", voy a detalle el caso real. Pero tenga en cuenta que el argumento del primer párrafo de abajo se muestran las soluciones en $M_n(K)$, para cualquier campo $K$, dividido por diagonalización en $n+1$ similitud de las órbitas en $GL(n,K)$ de la obvia diagonal soluciones.

1) Elementos de $p=p^2$ son llamados idempotents. Equivalentemente, estos son los diagonalizable (basta con pensar en la mínima polinomio) matrices con espectro en $\{0,1\}$. Un idempotente se caracteriza por la descomposición de los vectores del espacio, a la suma directa de su rango y de su nullspace. En $M_n$ ($\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) en general, se dividen en $n+1$ componentes conectados de acuerdo a su rango, que también es igual a su traza. Cada componente corresponde a una similitud de la órbita. Los naturales son los representantes de la diagonal idempotents $0_n$ $I_n$ (que están solos en sus órbitas), y $(1,\ldots,1,0,\ldots,0)$ con $k$ $1$'s, $1\leq k\leq n-1$ (cuya órbita es una variedad de dimensión $2k(n-k)$).

En $M_2(\mathbb{R})$, por consiguiente, existen tres componentes: $\{0_2\}$, $\{I_2\}$, y el rango de una idempotents. Es decir, el $2\times 2$ matrices cuyo polinomio característico es $X^2-X$: $$ \pmatrix{a&b\\c&d}\qquad a+d=1\qquad ad-bc=0 $$ Yo deje de trabajar en estas dos ecuaciones para darse cuenta de que este colector es afín bijection con el de una hoja hyperboloid. Si desea una parametrización, aquí es racional para todos, pero un subconjunto de ellos de topológica de dimensión uno: $$ \pmatrix{\frac{1}{1+st} &\frac{s}{1+st}\\\frac{t}{1+st}&\frac{st}{1+st}}\qquad (s,t)\in\mathbb{R}^2\setminus\{1+st=0\}. $$

2) Elementos de $p=p^*=p^2$ se denominan proyecciones (=auto-adjunto idempotents) en las álgebras de operadores. Éstas se caracterizan por su rango único, como su nullspace es el ortogonal de su gama. De nuevo, se dividieron en $n+1$ componentes de acuerdo a su rango. El rango de $k$ componente se llama Grassmannian $G(k,n)$ e tiene dimensión $k(n-k)$, la mitad (nos cayó la nullspace) de la dimensión de la correspondiente idempotente componente en el que se encuentra como un submanifold.

En $M_2(\mathbb{R})$, todavía tenemos tres componentes. Me permitirá comprobar que el trivial uno, clasificar a una de las proyecciones, pueden ser parametrizadas por $$ \pmatrix{\cos^2\theta&\cos\theta\sin\theta\\ \cos\theta\sin\theta&\sin^2\theta}\qquad \theta\[0,\pi]. $$ No debe surprize que vamos a recuperar el complejo círculo unidad. Estos son los dimensiones de los subespacios de $\mathbb{R}^2$. Esa es la línea proyectiva. Tenga en cuenta que a diferencia de rango uno idempotents, ahora es compacto.

Answer 2

Calcular el cuadrado de una matriz simétrica: $$\begin{bmatrix} a & b\\ b & d \end{bmatrix} ^ 2 =\begin{bmatrix} a^2 + b^2 & ab + bd \\ ab + bd & b^2 + d^2 \end{bmatrix} $$ ahora imponer las condiciones $$\begin{cases} a^2 + b^2 = a\\ (a+d)b = b\\ b^2 + d^2 = d \end{casos} $$ ¿qué puede decir?

¿Qué pasa si usted hace lo mismo con una matriz simétrica no?

Answer 3

Dejó $\textbf{X} = \left ({\matrix {un & b \cr c & d \cr}} \right)$, then ${\textbf{X}}^2-\textbf{X} = \textbf {X} (\textbf {X} - \textbf{I})= 0$ es equivalente a

$$ \left ({\matrix {un & b \cr c & d \cr}} \right)\left ({\matrix {a-1 & b \cr c & \cr d-1}} \right) = 0$ $ resolver esta ecuación para $a,b,c,d$, me sale que

$\left\{\left\{c=\frac{a-a^2}{b},d=1-a\right\},\{a=0,b=0,d=1\},\{a=1,b=0,d=0\},\{a=0,b=0,c=0,d=0\},\{a=0,b=0,c=0,d=1\},\{a=1,b=0,c=0,d=0\},\{a=1,b=0,c=0,d=1\}\right\}$

Evidentemente, hay infinitas soluciones.