¿Definición de módulo inducido - error en Locaux de cuerpo?

Question

Esto es desde el comienzo de la sección de grupo cohomology en el Cuerpo de Locaux (Edición en inglés).

Serre los estados que $A$ es un inducida $G$-módulo de si

(1) $A\cong A\otimes_\mathbb{Z}X$ por un grupo abelian $X$,

o, de manera equivalente,

(2) $A=\bigoplus_{s\in G}s\cdot X$.

Es (1) un error tipográfico? Esta es una muy estricta condición de que no sólo en $A$, pero también en $X$. A mí me parece que la versión correcta de la primera definición anterior debe leer $A\cong A\otimes_{\mathbb{Z}[X]}X$, lo cual está en línea con la habitual correspondiente noción de grupo representatinos sobre los campos, pero tal vez me estoy perdiendo algo simple.

Answer 1

Condición (1) no dice nada acerca de $G$. Debe ser algo como

(1) $A \cong X \otimes_{\Bbb Z} \Bbb Z[G]$ $X$ Grupo abeliano.

Asumimos que la acción $G$ $X \otimes_{\Bbb Z} \Bbb Z[G]$ actúa sólo en el factor de $\Bbb Z[G]$.

Answer 2

También me gustaría señalar que lo que llama Serre un módulo"inducido" se denomina un "módulo Co inducido", mientras que un módulo inducido es de la forma $\hom_{\mathbf Z}(\Lambda, X)$, que es la noción de "adjunto". Esto puede ser una fuente de confusión al leer cosas mayores. Cuando $G$ es finito, sin embargo, las nociones coinciden.

Answer 3

Sin duda, usted confunde $A$, $\Lambda$. En la línea de $14$-th en el comienzo del capítulo uno encuentra

", si $\Lambda$ denota el álgebra $\mathbb{Z}[G]$..."

Más tarde, él dice

"El #%-módulo de $G$ #% dice ser inducido si tiene el % de forma $A$, donde $\Lambda \otimes X$ es un Grupo abeliano..."