Clase de cohomología de un Subvariety

Question

Estoy trabajando en la pregunta 7.4 del Capítulo III.7 en Hartshorne de la Geometría Algebraica. La pregunta es acerca de la cohomology de clase de una subvariedad.

La configuración es la siguiente: $X$ $n$- dimensiones no-singular variedad proyectiva a través de una algebraicamente cerrado de campo $k$. $Y\subset X$ es un no-singular subvariedad de codimension $p$. Tenemos el mapa estándar $\Omega_X\otimes \mathcal{O}_Y \rightarrow \Omega_Y$ a partir de la cual podemos deducir un mapa de $\Omega_X^{n-p} \rightarrow \Omega_Y^{n-p}$, y esto a su vez produce un mapa en cohomology $H^{n-p}(X, \Omega_X^{n-p}) \rightarrow H^{n-p}(Y,\Omega_Y^{n-p})$. Ahora $Y$ $(n-p)$- dimensional, por lo $\Omega_Y^{n-p} = \omega_Y$ y tenemos la traza mapa de $H^{n-p}(Y,\Omega_Y^{n-p} = \omega_Y) \rightarrow k$. Componiendo con esta traza de la ruta que hemos $\varphi_Y : H^{n-p}(X,\Omega_X^{n-p})\rightarrow k$. Ahora, ya por la Dualidad de Serre $H^p(X,\Omega_X^p) \cong H^{n-p}(X, \Omega_X^{n-p})^{\lor}$, $\varphi_Y$ corresponde a un elemento $\eta(Y) \in H^p(X,\Omega_X^p)$, lo que llamamos el cohomology clase de $Y$.

La parte (a) del problema pregunta para demostrar que si $P\in X$ es un punto cerrado, a continuación, $t_X(\eta(P)) = 1$ donde $t_X$ es la traza el mapa de la $\omega_X$. Ahora, en el caso de un punto, el mapa de $\Omega_X^{n-p} \rightarrow \Omega_Y^{n-p}$ es simplemente el mapa de $\mathcal{O}_X \cong \Omega_X^0 \rightarrow \Omega_P^0\cong k_P$ definido por $f \mapsto f(P)$ que, cuando se compone con la traza el mapa de la $H^0(P,\omega_P)$, los rendimientos de la $f \mapsto t_P(f(P))$. Este mapa debe corresponder a un elemento $\eta(P) \in H^n(X,\Omega_X^n = \omega_X)$ como se ha indicado anteriormente.

Mi problema es que no sé cómo poner mis manos en $\eta(P)$. Todo lo que sé es que debería existir. Por otra parte, pensé que $H^n(X, \omega_X) \rightarrow k$ es sólo un mapa de $k$-espacios vectoriales. No necesito un poco de morfismos respetando estructuras de anillo en algún lugar en el fin de detectar $1 \in k$ y ser capaz de demostrar que $t_X(\eta(P)) = 1$ aquí? Hartshorne mismo dice que, excepto en el caso de las curvas, que realmente no puede escribir explícitamente lo que la traza mapa es porque no lo sabemos. Todo lo que sabemos es que existe.

Answer 1

Bueno, yo creo que usted tiene que hacer una elección para $t_{P}$. Pero al parecer, usted no necesita hacer una selección de $t_X$. Esto sucede debido a que el papel de $t_X$ en la dualidad isomorfismo se cancela al momento de evaluar la clase utilizando los $t_X(. )$.

En primer lugar, para un cierre de inmersión $j: Y \to X$, veamos la definición del mapa de $H^{n-p}(X, \Omega_X^{n-p}) \to H^{n-p}(Y, \Omega_Y^{n-p}) $. Comience con el mapa de los diferenciales $j^* \Omega_X \to \Omega_Y$. Ahora la aplicación de $\bigwedge^{n-p}(.)$, que conmuta con pullbacks se obtiene un mapa de $j^* \Omega_X^{n-p} \to \Omega_Y^{n-p}$. Ahora empuje hacia adelante y uso adjointness de $j_*, j^*$ obtener un mapa $\Omega_X^{n-p} \to j_* j^*\Omega_Y^{n-p} \to j_* \Omega_Y^{n-p}$. Ahora la aplicación de $H(X, .)$ da la necesaria mapa.

Ahora en el problema dado, donde $Y = \left\{P \right \}$, $p= n$, el mapa de arriba es $H^0(X, \mathcal O_X) \to H^0(P, O_P)$, que es en realidad el mapa de identidad en $k$. Deje $\overline{x} \in H^0(X, \mathcal O_X)'$ a ser el elemento que queremos obtener por composición con $t_P$. A continuación,$\overline x(1) = t_P(1)$. Identificar las $H^0(X, \mathcal O_X)$ $\text {Hom}(\omega_X, \omega_X)$ en el obvio manera. Denotar por $x \in \text {Hom}(\omega_X, \omega_X)' $ el elemento correspondiente a $\overline{x} \in H^0(X, \mathcal O_X)'$. A continuación,$x(Id_{\omega_X}) = t_P(1)$.

Deje $\varphi:\text {Hom}(\omega_X, \omega_X)\to H^n(X, \omega_X)' $ ser el isomorfismo dada por la dualizing gavilla, el cual es dado por $\varphi(f) = t_X(H^n(f))$. A continuación, $\varphi '$ compuesto con el canónicas de identificación de $i$ de un espacio vectorial y su doble dual proporciona un isomorfismo de $\text {Hom}(\omega_X, \omega_X)'$$ H^n(X, \omega_X)$. Deje $\zeta \in H^n(X, \omega_X)$ corresponden a $x \in \text {Hom}(\omega_X, \omega_X)'$. A continuación,$x = i(\zeta) \circ \varphi$. Por lo $t_P(1)= x(Id_{\omega_X}) = i(\zeta)(t_X) = t_X(\zeta)$, que es lo que estamos buscando.

Tenga en cuenta que después de haber solucionado un isomorfismo de $\left\{P \right \}$ con $\text{Spec} \, k$, ($ k^{\sim}, t)$ funciona como un dualizing gavilla para cualquier isomorfismo $t: k \to k$ $k$ espacios vectoriales. Por lo que es posible para $t_P(1) $ tomar cualquier valor en $k^*$. Ahora para obtener la necesaria respuesta que usted tiene que tomar la $t_P(1) = 1$.