Un grupo de orden $2n$ tiene un elemento de orden $2$

Question

Tengo problemas de probar esto. La pregunta completa es:

"Que ser un grupo que orden es un número par de $G$. Que $G$ tiene un elemento de orden $2$ ".

¿Alguien me puede dar una pista?

Answer 1

Si no hay ningún elemento de orden 2 entonces mostrar que $G$ tiene un número impar de elementos. (Sugerencia: piensa en elementos e inversas)

Answer 2

Sugerencia $\ $ Inversión $\rm\:x\to x^{-1}\:$ es una involución $\rm\: (x^{-1})^{-1} = x,$, por lo que los ciclos (órbitas) de esta permutación partición $\rm\:G\:$ en órbitas de longitud $2$ o $1$. Desde $\rm\:|G|\:$ es aún así también es el número de la longitud de la $1$ órbitas, es decir, puntos fijos $\rm\:a = a^{-1};\:$ estos incluyen la $\rm\:a = 1,\:$ por lo tanto, tener incluso cardinalidad, debe incluir, al menos, otro punto fijo, necesariamente de orden $2$ por $\rm a^{-1}=a\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:a^2 = 1$ pero $\rm\:a\ne 1$.

Para una aplicación análoga de la órbita de la descomposición (sin paridad) ver mi respuesta anterior hoy en Wilson del teorema de grupos.

Answer 3

% Partición $G = E \cup A \cup B$, donde $E=\{e\}$, $A=\{x \in G : x = x^{-1}, x\ne e\}$, $B=\{x \in G : x \ne x^{-1}\}$. Tiene un elemento $E$ y $B$ tiene un número par de elementos porque es invariante bajo inversión $B$. $G$ Tiene un número par de elementos, $A$ debe tener un número impar de elementos. En particular, $A$ tiene al menos un elemento. Cada elemento en $A$ tiene orden 2.