Encontrar la sumatoria $\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k}\frac{1}{s+k}$

Question

Alguien me puede ayudar encontrar esta suma:

$ \sum_{k=0}^n (-1) ^ k \binom{n}{k}\frac{1}{s+k}. $$ Donde hay uno similar con la conocida respuesta $$ \sum_{k=0}^n (-1) ^ k \binom{n}{k}\frac{1}{s-k}=\dfrac{n!} {s(s-1)(s-2)... (s-n)} = \dfrac{\Gamma(n+1)\Gamma(s-n)}{\Gamma(s+1)}. $$

Answer 1

Tenga en cuenta que, para cada positivo $s$, $ \sum_{k=0}^n (-1) ^ k \binom{n}{k}\frac{1}{s+k}= \sum_{k=0}^n (-1) ^ k \binom{n}{k}\int_0^1t^{s+k-1}dt=\int_0^1t^{s-1}\sum_{k=0}^n (-1) ^ k \binom{n}{k}t^kdt$$ por lo tanto $$ \sum_{k=0}^n (-1) ^ k \binom{n}{k}\frac{1}{s+k}=\int_0^1t^{s-1}(1-t) ^ ndt = \mathrm {Beta} (s n+1)=\frac{\Gamma(s)\Gamma(n+1)}{\Gamma(s+n+1)}. $$

Answer 2

Introducir la función racional $f(s)$ con los postes en el $s=0,-1,-2,\ldots -n:$ $$f(s) = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n\choose k} \frac{1}{s+k}.$ $Now observe que $$\mathrm{Res}_{s=-k} f(s) = (-1)^k {n\choose k}.$ $

Comparar con $g(s)$ de $$g(s) = \frac{n!}{s(s+1)(s+2)\cdots(s+n)}.$ $ los polos de $g(s)$ son los mismos que los polos de $f(s)$ y ambos son simples, con residuo $$ \mathrm{Res}_{s=-k} g = \frac{n!} {(-k)(-k+1)\cdots(-k+k-1)(-k+k+1)(-k+k+2)\cdots(-k+n)}. $$ Esto simplifica a $$ \mathrm{Res}_{s=-k} g = \frac{n! (-1) ^ k} {k! () n-k)!} = (-1) ^ k {n\choose k}. $$

Concluimos que el $f(s) = g(s).$

Answer 3

demostrar por inducción que $\sum_{k=0}^{n}(-10^k\binom{n}{k}\frac{1}{s+k}={\frac {n!\,s!}{s \left( n+s \right) !}}$