La ecuación de $3^n+4^m=5^k$ en números enteros positivos

Question

Por favor me ayude a demostrar que la ecuación de $3^n + 4^m = 5^k$ donde $n$, $m$, $k$ son números enteros positivos tiene sólo la solución de $n=m=k=2$.

Sé cómo probar $n=m=k$.

Si $3^x + 4^x = 5^x$ y $(3/4)^x + 1 = (5/4)^x$ y esta ecuación tiene a lo más una solución ya que la función $(3/4)^x + 1$ disminuye y aumenta la función $(5/4)^x$ % reales todos $x$. Así que la solución de $x = 2$ es único.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Teniendo en cuenta la ecuación módulo 3 y 4 por separado, vemos que $2 | n \implies n = 2a$ $2 | k \implies k = 2c$ para algunos enteros positivos $a, c$. La reescritura, obtenemos

$$\begin{align} 3^{2a} + 4^m &= 5^{2c}\\ 2^{2m} &= (5^c)^2 - (3^a)^2\\ 2^{2m} &= (5^c + 3^a)(5^c - 3^a)\end{align}$$

Por lo tanto, permitir a $5^c + 3^a = 2^y$ $5^c - 3^a = 2^x$ enteros no negativos $x, y$ tal que $x + y = 2m$. Sumando ambas, obtenemos: $$2\cdot5^c = 2^x + 2^y$$ Si $x = 0$,$2\cdot5^c = 1 + 2^y\implies y = 0 \implies m = 0$. Pero la cuestión de los estados que $m > 0$, para el caso en que $x = 0$ es imposible $\implies x > 0 \implies y > 0$.

Esto nos permite dividir todo por $2$ para obtener: $$5^c = 2^{x - 1} + 2^{y - 1}$$ Tomando ambos lados del modulo $2$, nos encontramos con que el de arriba es imposible para $x-1 > 0$. Por lo tanto, $x - 1 = 0$ o $x = 1$. A partir de esto, obtenemos: $$\begin{align}5^c = 1 + 2^{y - 1}\\ 5^c - 2^{y - 1} = 1\end{align}$$ Esto huele a catalán de la Conjetura (ahora ascendido a un teorema), lo que implica (en este contexto) que cualquiera de las $c$ o $y - 1$ debe ser igual a $1$.

Si $y - 1 = 1$,$5^c - 2^1 = 1 \implies 5^c = 3$, que no tiene solución.

Si $c = 1$,$k = 2c = 2$$5 - 2^{y - 1} = 1 \implies 2^{y - 1} = 4 \implies y = 3$. Pero hemos deducido que el $x = 1$, por lo que sustituyendo de nuevo en la relación $x + y = 2m$, obtenemos $m = 2$, que después de la sustitución de nuevo en la ecuación original nos da directamente a $n = 2$.

Por lo tanto, a la conclusión de que sólo hay una solución, que es, $(n, m, k)$ = $(2, 2, 2)$.

Tal vez el enfoque anterior de alguna manera podría ser utilizado para resolver el lío que he hecho aquí en este hilo.

Answer 2

La reducción de la ecuación de mod $3$ muestra que $k$ debe ser par, y la reducción de mod $4$ se muestra de la misma para $n$, así que vamos a reescribir toda la cosa como

$$3^{2n}+2^{2m}=5^{2k}$$

y muestran que $(n,m,k)=(1,2,1)$ es la única solución en los enteros positivos.

Ahora

$$2^{2m}=5^{2k}-3^{2n}=(5^k-3^n)(5^k+3^n)$$

implica $5^k-3^n=2^a$$5^k+3^n=2^b$$a\lt b=2m-a$. Restando estos da

$$2\cdot3^n=2^a(2^{b-a}-1)$$

lo que implica $a=1$$3^n=2^{b-a}-1$. Queda por demostrar que el único poder positivo de las $3$ de la forma$2^u-1$$3^1=2^2-1$.

Si $3$ divide $2^u-1$, $u$ debe ser, así que vamos a $u=2v$. En ese caso, $2^u-1=(2^v-1)(2^v+1)$. En orden para $3$ a dividir $2^v+1$, $v$ debe ser impar. Pero si $v$ es impar, a continuación, $2^v-1$ es no divisible por $3$, por lo que la única forma en que se puede ser una potencia de $3$ es si es igual a $1$, lo que implica $v=1$, que es exactamente lo que necesitamos.

Agrega más adelante: Uno puede, alternativamente, la reescritura de la (modificado) la ecuación como

$$3^{2n}=5^{2k}-2^{2m}=(5^k-2^m)(5^k+2^m)$$

lo que implica $5^k-2^m=3^a$$5^k+2^m=3^b$$a\lt b=2n-a$. En este caso, restando da

$$2\cdot2^m=3^a(3^{b-1}-1)$$

lo que implica $a=0$, por lo que el $5^k-2^m=1$ o $5^k=2^m+1$. Esto conduce a $3^{2n}=2^{m+1}+1$ o $2^{m+1}=(3^n-1)(3^n+1)$. Como antes, debemos tener $3^n-1=2^a$$3^n+1=2^b$$a\lt b$, pero esta vez de restar da $2=2^a(2^{b-1}-1)$, lo que obliga $a=1$, por lo tanto $n=1$.

Nota, la única función de las $5$ en cualquiera de los dos enfoques es ser congruente a $2$ mod $3$ $1$ mod $4$ (de modo que podamos reemplazar$n$$k$$2n$$2k$), por lo que la misma prueba funciona con nada congruente a $5$ mod $12$, por ejemplo,, $17$, $29$, $41$, etc. La única diferencia es que en estos casos la conclusión final es que hay no hay soluciones: una Vez que has conseguido $n=1$ $m=2$ en el lado izquierdo, sólo puede tener $5^2$ a la derecha.