Un pato, perseguido por un zorro, se escapa del centro de un estanque circular. El zorro no sabe nadar, y el pato no puede tomar vuelo desde el agua. El zorro es cuatro veces más rápido que el pato. ¿Suponiendo que el zorro y el pato buscar estrategias óptimas, es posible que el pato llegar al borde del estanque y volar sin ser comido? Si es así, ¿cómo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Definiciones
Deje $R$ ser el radio de la laguna. Deje que las velocidades ser $v$ para el pato, y $4v$ para la fox (ver diagrama).
Fase 1 - La Headstart
Mientras el pato se queda con un círculo de radio $\frac{R}{4}$, se puede asegurar que se mantiene el zorro tan lejos como sea posible (en una línea diametral a sí mismo) girando en una espiral, donde su máximo hacia el exterior de la velocidad está dada por:
$\dot{r} = v\sqrt{1 - \dfrac{16r^2}{R^2}}$
Fase 2 - La Fuga
Suponga ahora que el pato se ha alcanzado el punto de $D$ (como se muestra) en un radio de $r$ desde el centro (con el zorro en el punto de $F$), y quiere comenzar la fase 2. Su ruta más rápida a la orilla le lleva al punto de $S$ y cubre una distancia de $R-r$, mientras que el zorro debe cubrir la longitud del arco $R\pi$, hasta alcanzar los $S$. Por lo tanto, para los dos tiempos:
$t_D = \dfrac{R-r}{v}$ para el pato, y $t_F = \dfrac{R\pi}{4v}$ para la fox.
Si el pato es hacer de la seguridad que necesitamos
$\dfrac{R-r}{v} < \dfrac{R\pi}{4v}$ o $r > (1 - \dfrac{\pi}{4}) R \approx 0.2146 R$. Ya que esto está dentro de la espiral de la zona de $(r < \dfrac{R}{4})$,
el pato va a ser capaz de llegar con seguridad a la orilla.
