Es el número de $333{,}333{,}333{,}333{,}333{,}333{,}333{,}333{,}334$ un cuadrado perfecto?

Question

Sé que si el número es un cuadrado perfecto, entonces será congruente a $0$ o $1$ (mod $4$). Ahora, dado que el número es aún, sé que es $0$ o $2$ (mod $4$). ¿Cómo puedo responder a esto?

Answer 1

El cuadrado de un número par es $0\pmod{4}$. El cuadrado de un número impar es $1\pmod{4}$. Por lo tanto, un cuadrado perfecto es $0$ o $1\pmod{4}$.

Este número es $2$ mod $4$ desde el es $n\times 100+34$$34\equiv2\pmod{4}$.

Answer 2

Más generalmente. "Encontrar todos los enteros positivos $k,n$ tal que $\frac{(6n-2)^k-1}{3}+1$ es un cuadrado."

Respuesta. Claramente una plaza, si es que existe, tiene que ser impar. Supongamos entonces que existe un entero positivo $x$ tal que $$\frac{1}{3}((6n-2)^k-1)+1=(2x+1)^2 \implies 12x(x+1)=(6n-2)^k-1.$$ Tan lejos como uno entre $x$ $x+1$ tiene que ser, incluso, a continuación,$\upsilon_2((6n-2)^k-1) \ge 3$, lo cual es claramente imposible, ya que es un número impar. $\blacksquare$

Answer 3

$ clisp -p
[1]> (isqrt (leer-de-cadena (quitar el #\, "333,333,333,333,333,333,333,333,334")))
18257418583505

Los últimos dígitos de la parte entera de la raíz cuadrada de aproximación es de 5. Para la plaza de que la aproximación debe terminar en 5 y por lo tanto no es exacta, lo que significa que el número original no es un cuadrado.