Axioma de asociatividad debilitado: $(x * y) * z \leq x*(y*z).$

Question

Llame a parcialmente ordenado magma $(X,*)$ sub-asociativa iff satisface la siguiente axioma. $$(x*y)*z \leq x*(y*z).$$

Básicamente, esto es decir que podemos barajar entre paréntesis a la derecha para conseguir una mayor $(\geq)$ expresión, o a la izquierda para llegar a un pequeño $(\leq)$ expresión.

Estoy buscando:

1. Ejemplos interesantes, especialmente aquellos "de la naturaleza".
2. El nombre estándar para este tipo de construcciones, si existe un nombre.

Cerca de ejemplo. Cada distributiva de celosía que cumpla las siguientes. $$(x \vee y) \wedge z \leq x \vee (y \wedge z)$$

Motivación. En dicha estructura $(X,*)$ podemos poner entre corchetes para obtener los límites inferior y superior de una expresión. Por ejemplo, considere la siguiente expresión.

$$(x*y)*(x'*y')$$

Obtenemos los siguientes límites inferior y superior, respectivamente.

$$((x*y)*x')*y',\quad x*(y*(x'*y'))$$

Answer 1

Me llegó a través de este sub-propiedad asociativa (que parece un buen nombre) hace poco, cuando estaba pensando en estructuras ordenadas y enriquecido categorías.

Deje $(X,*)$ ser un magma con un orden parcial $\leq$ de tal manera que tenemos $x*z\leq y*z$ $z*x\leq z*y$ todos los $z\in X$ siempre $x\leq y$$X$. Estoy suponiendo que esto es lo que entendemos por un "parcialmente ordenado magma". También supongamos que existe una función de $d\colon X\times X\to X$ satisfactorio $$\tag1 x*y\leq z\quad\Leftrightarrow\quad x\leq d(z,y) $$ para todos los $x,y,z\in X$. En otras palabras, esta condición se dice que por cada $y\in X$ la multiplicación de la función $-*y$ tiene un superior adjunto, que denotamos $d(-,y)$. Si el otro la multiplicación de la función $y*-$ también había un superior adjunto, a continuación, sería justo llamar a $X$'residuated magma', pero que no se supone que como bien.

He escrito '$d$' para la parte superior adjunto de la multiplicación de la función (esta no es la notación estándar) porque queremos pensar que es un muy débil especie de "función de distancia". En concreto, vamos a suponer que $d$ satisface $$\tag2 d(x,y)*d(y,z)\leq d(x,z) $$ para todos los $x,y,z\in X$. Esta condición está motivado por la desigualdad de triángulo en un espacio métrico y la composición de morfismos en un enriquecido categoría (este nLab página describe la relación entre estos dos conceptos).

Yo ahora dicen que $X$ tiene el sub-propiedad asociativa.

Prueba: Vamos A $x,y,z\in X$. Desde $x*(y*z)\leq x*(y*z)$ tenemos $x\leq d(x*(y*z),y*z)$ (1), y lo mismo desde $y*z\leq y*z$ tenemos $y\leq d(y*z,z)$ (1). Ahora desde $\leq$ es compatible con $*$ en el sentido descrito anteriormente (es decir, desde la $X$ está parcialmente ordenado magma) tenemos $$x*y\leq d(x*(y*z),y*z)*d(y*z,z),$$ y, como tal, $x*y\leq d(x*(y*z),z)$ (2). Finalmente, por (1) de nuevo tenemos $(x*y)*z\leq x*(y*z)$, según se requiera.

Una característica interesante de este sistema es que los sub-asociatividad parece ser lo mejor que podemos hacer. Es decir, incluso si adoptamos la igualdad en (2), parece imposible derivar los otros sub-asociatividad de la desigualdad. Nota, sin embargo, que si habíamos asumido que el otro la multiplicación de la función también tiene una parte superior adjunto satisfactorio (2), a continuación, obtendremos $x*(y*z)\leq(x*y)*z$ todos los $x,y,z\in X$ (y por tanto la auténtica asociatividad) similar a la prueba.