¿Por qué puede ' t contar hasta aleph nulas?

Question

Recientemente, he aprendido acerca de la infinita cardenal $\aleph_0$, y se tropezó con una aparente contradicción. Aquí están mis suposiciones basadas en lo que he aprendido:

1. $\aleph_0$ es la cardinalidad de los números naturales
2. $\aleph_0$ es mayor que todos los finita de números, y por lo tanto no puede ser alcanzado simplemente por contar a partir de 1.

Pero luego empecé a preguntarme: la cardinalidad del conjunto de $\{1\}$$1$, la cardinalidad del conjunto de $\{1, 2\}$$2$, la cardinalidad del conjunto de $\{1, 2, 3\}$ es de 3, y así sucesivamente. Así que llegaron a la conclusión de que la cardinalidad del conjunto de $\{1, 2, \ldots n\}$$n$.

Basándose en esta conclusión, si la cardinalidad de los números naturales es $\aleph_0$, entonces el conjunto de los números naturales puede ser denotado como $\{1, 2, \ldots \aleph_0\}$. Pero tal conjunto implica que $\aleph_0$ puede ser alcanzado por el recuento de $1$, lo que contradice mi hipótesis #2 arriba.

Esta pregunta me ha estado molestando por un tiempo ahora... no estoy seguro de que he cometido un error en mi razonamiento o si incluso he utilizado el correcto de los términos matemáticos o a la pregunta del título/etiquetas para describirlo, pero me gustaría seguro agradezco su ayuda.

Answer 1

Este es un buen ejemplo donde la intuición acerca de un patrón se rompe; lo que es cierto para conjuntos finitos no es cierto de conjuntos infinitos en general. Los números naturales $\textit{cannot}$ denotarse por el conjunto de $A=\{1,2,...,\aleph_0\}$ como el conjunto $\aleph_0$ no es un número natural. Es cierto que la cardinalidad de a $A$ $\aleph_0$ (un buen ejercicio), pero contiene algo más que números naturales.

Si $\aleph_0$ eran de un número natural, entonces, como usted señala, tendríamos una contradicción. Sin embargo $\aleph_0$ $\textit{cardinality}$ de los números naturales, y no un número natural en sí mismo. Por definición, $\aleph_0$ es el mínimo número ordinal con que el conjunto $\omega$ de los números naturales se pueden poner en bijection.

Answer 2

¡Buena pregunta! Eres libre de incluir null aleph en su conjunto, pero todavía contiene un conjunto infinito de números naturales. Así que no puede contar hasta a él. Lo que tienes es

$$\{1,2,\ldots,\text{ an infinite list of numbers },\ldots , \aleph_0\}$$