Operador ilimitada cerrada con dominio no cerrado

Question

Estoy buscando un ejemplo para una mejor comprensión de la Cerrada Gráfico Teorema:

Deje $X,Y$ ser espacios de Banach y $T:X\to Y$ cerrado (es decir, la gráfica de $T$ es cerrado en $X\times Y$). Entonces si $\mathcal{D}(T)$ es cerrado en $X$, $T$ está acotada.

Estoy buscando una desenfrenada operador cuya gráfica $\mathcal{G}(T)$ es cerrado en $X\times Y$ y cuyo dominio $\mathcal{D}(T)$ es no cerrado en $X$, a clearify la necesidad de $\mathcal{D}(T)$ está cerrado.

Esta pregunta surgió debido a la definición de la norma de un gráfico de $\lVert (x,Tx)\rVert:=\lVert x\rVert+\lVert Tx\rVert$, donde pensé que la siguiente afirmación sería verdadera: [$\mathcal{G}(T)$ cerrado $\Rightarrow\mathcal{D}(T)$ cerrado] que, en general, es falso.

Answer 1

Uno de los más simples ejemplos es la siguiente:

Deje $D(T) = C^1[0,1]$ ser el espacio de continua de funciones diferenciables (de una cara derivada en los puntos finales) y deje $X = C^0[0,1]$ ser equipado con la norma $\lVert f \rVert_\infty = \sup_{x \in [0,1]} \lvert f(x)\rvert$.

A continuación, el derivado $T = \frac d{dx}$ es un operador $D(T) \subset C^0[0,1] \to C^0[0,1]$ $T$ es fácil comprobar que ha cerrado el gráfico. Recuerde: si $f_n \to f$ pointwise y $f_{n}' \to g$ de manera uniforme, a continuación, $g$ es el derivado de la $f$ por una aplicación del teorema fundamental del cálculo.

Sin embargo, $D(T)$ no está cerrada (es denso, pero no todos los de $C^0[0,1]$) y $T$ es no acotada (considere el $x^n$).