Solución de forma cerrada general $f'(x) = P(f(x))/P(x)$

Question

¿Existe un general de la forma cerrada de la solución (en términos de primaria o funciones especiales) para la ecuación diferencial:

$$ \frac{df(x)}{dx} = \frac{P(f(x))}{P(x)} $$

al $P(x)$ es un polinomio de grado mayor que 3? (excluyendo el caso trivial $f(x)=x$).

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Contexto:

Estoy tratando de encontrar la acción de una determinada clase de composición de operadores

$$C_f(x,\frac{d}{dx}) = e^{P(x) \frac{d}{dx}} $$

donde $P(x)$ es un polinomio en a $\mathbb{C}$ grado $n \geq 3$, que para una función compleja $g$

$$C_f(g) = g \circ f$$

Después de algunas manipulaciones, se llega a la ecuación de Abel

$$ f(x) = \alpha^{-1}(\alpha(x) + 1) $$

donde

$$ \alpha(x) = \int^x \frac{dt}{P(t)} $$

La diferenciación de esta última expresión, se obtiene una ecuación diferencial que todos los de la familia de las iteraciones de $f$ (incluso fraccional) se debe satisfacer:

$$ \frac{df(x)}{dx} = \frac{P(f(x))}{P(x)} $$

Ya sé que las propiedades básicas de esta función, y sé cómo calcular numéricamente. Lo que estoy tratando de encontrar es si existe un general de la forma cerrada de la expresión de $f$ al $\deg P \geq 3$ (en el caso $n \leq 2$, $f(x)$ es una transformación de Möbius).

Hay algunos casos especiales en los que he comprobado manualmente, como en el caso del $P(x) = ax^n$, cuya solución es una combinación de una función racional y radicales, pero no sé si esto es en general, o cómo demostrarlo.

Answer 1

Este tipo de ecuaciones es las que trabaja el abuso de la notación de Leibniz. Podemos escribir %#% $ #% integración y tratar correctamente las constantes nos da la solución. Si hay una forma cerrada probablemente depende del polinomio.

Answer 2

Luego de volver a visitar mi pregunta creo que he encontrado la respuesta. Deje $P(x)$ ser un monic polinomio de grado $3$ por simplicidad, y, además, que dos de sus raíces se $0$$1$, y la tercera un ser real. Este polinomio por lo tanto se puede poner en la forma:

$$P(x)=x(x-1)(x-r)$$

donde $r\neq 0, 1$ es la tercera raíz.

El problema se reduce entonces a encontrar la forma explícita de una función inversa de la

$$\int^x \frac{dt}{P(t)} = \frac1{r(r-1)} \left( (r-1) \log x - r \log(1-x) + \log(x-r)\right) = \alpha(x)$$

Entre dos de los logarítmica de las singularidades de la función (considerada como una función real) es uno-a-uno, de manera inversa existe. La agrupación de los logaritmos y simplificando, obtenemos

$$\alpha(x) = \frac1{r(1-r)} \log \left( \frac{(\frac1x-1)^r} {1-\frac rx} \right) $$

Para encontrar la inversa, debemos resolver (ajuste $z = \frac1x$):

$$y = \frac{(z-1)^r} {1- rz}$$

para $z$ en términos de $y$. Si $r$ es un número natural es equivalente a la solución de una ecuación polinómica de grado $r$, y sabemos de la teoría de Galois de que no hay un general cerrado de forma algebraica solución, excepto cuando $r<5$. Si $r$ es irracional, la situación es incluso peor.

Así que parece que la respuesta a mi pregunta es no, salvo en algunos casos especiales. Aún existe la posibilidad de que, aunque la función inversa $\alpha^{-1}(x)$ no es expresable en forma cerrada, su composición con $\alpha(x) + c$ donde $c\neq0$ es una constante apropiada, conduce a una forma cerrada de la expresión, pero me parece raro y no sé cómo explorar la posibilidad de todos modos.