Cambio de signo de la coordenada métrica de Schwarzschild en $0\leq r \leq 2GM$

Question

En el horizonte de sucesos de la métrica de Schwarzschild no sólo la coordenada temporal sino también la coordenada espacial radial parecen cambiar de signo:

$$ds^2=\left(1-\frac{2M}{r}\right)\mathrm{d}t^2-\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}\mathrm{d}r^2-r^2\mathrm{d}\theta^2-r^2\sin^2\theta \, \mathrm{d}\phi^2$$

(en unidades en las que $c=G=1$ ). Como podemos ver, para $0<r<2M$ , $t$ sea negativo (al igual que las coordenadas espaciales) y $r$ será positiva (al igual que la coordenada temporal), aunque $r$ tiene un punto singular en $r=2M$ .

¿Tiene este cambio de signo algún significado físico?

Comentarios de reacción

1. En circunstancias "normales" (no atravesando el horizonte de sucesos de un BH de Schw), un cambio como este no ocurre, esto es porque Tengo la pregunta, que sobre el significado físico podría tener un tal cambio.
2. Según tengo entendido, la métrica de Kruskal-Szekeres tiene varias secciones. Maneja eficazmente el problema, qué pasa si alguien atraviesa el horizonte de sucesos. Pero atravesar el horizonte de sucesos es imposible sólo para un observador externo, el objeto que cae en el Schw BH puede ver su caída en el BH. ¿Qué experimentará [como posibilidad teórica], al transformarse su coordenada espacial radial en temporal y viceversa?

Answer 1

En coordenadas de Schwarzschild, el cambio de signo de la $g_{00}$ y $g_{11}$ componentes de la métrica significa que, en cierto sentido, $t$ se convierte en una coordenada "espacial" y $r$ una "temporal": el "futuro" apunta a la disminución $r$ en lugar de aumentar $t$ se puede ver que al mirar el conos de luz en coordenadas de Schwarzschild, véase por ejemplo esta figura

Conos de luz de Schwarzschild en coordenadas de Schwarzschild (de MTW (página 848)

Además, dentro de la superficie $r = r_\text{S} = 2M$ no se puede tener un positivo $\mathrm{d}s^2$ sin un $\mathrm{d}r^2$ debido al cambio de signo, por lo que dentro de un agujero negro de Schwarzschild hay que moverse. Esto, de nuevo, puede verse utilizando los conos de luz anteriores: la línea de la palabra no puede mantenerse constante $r$ .

El hecho de que después de haber cruzado el horizonte de sucesos los conos de luz apunten hacia el $r = 0$ La singularidad es cierta también utilizando otras coordenadas, como Coordenadas de Kruskal-Szekeres

La métrica de Schwarzschild en coordenadas de Kruskal-Szekeres (véase la definición completa de las coordenadas en el Artículo de Wikipedia ): \begin{equation}\mathrm{d}s^{2} = \frac{4r_{\text{S}}^{3}}{r}\mathrm{e}^{-r/r_{\text{S}}}(\mathrm{d}v^{2} - \mathrm{d}u^{2}) - r^{2}\mathrm{d}\theta^{2} - r^{2}\sin^{2}\theta\mathrm{d}\phi^{2}\end{equation}

Conos de luz de Schwarzschild en coordenadas de Kruskal-Szekeres. El $r = 0$ región es la que tiene el borde dentado hacia adentro (de MTW (página 848)

y Coordenadas Eddington-Finkelstein

La métrica de Schwarzschild en coordenadas Eddington-Finkelstein (véase la definición completa de las coordenadas en el Artículo de Wikipedia ): \begin{equation}\mathrm{d}s^{2} = \biggl(1 - \frac{r_{\text{S}}}{r}\biggr)\mathrm{d}\tilde{v}^{2} - 2\mathrm{d}\tilde{v}\mathrm{d}r - r^{2}\mathrm{d}\theta^{2} - r^{2}\sin^{2}\theta\mathrm{d}\phi^{2}\end{equation}

Conos de luz de Schwarzschild en coordenadas Eddington-Finkelstein (de MTW (página 849)

El cambio de signo tiene un significado físico en coordenadas de Schwarzschild porque Schwarzschild $t$ y $r$ las coordenadas tienen un significado físico ( $t$ es el tiempo lejano , $r$ el circunferencia reducida ), mientras que no conozco ningún significado físico simple del Kruskal-Szekeres $u$ y $v$ o de las coordenadas Eddington-Finkelstein $\tilde{v}$ coordenadas. Tenga en cuenta que $u$ , $v$ y $\tilde{v}$ coordenadas mezclan el original de Schwarzschild $t$ y $r$ coordenadas. Dependiendo de las coordenadas utilizadas, no siempre hay un cambio de signo en las componentes métricas (en las coordenadas de Kruskal-Szekeres no hay ningún cambio de signo), por lo que no hay que tomar ese cambio como una regla general.

El Tensor métrico de Kerr con las coordenadas de Boyer-Lindquist (descritas brevemente en esta introducción al espaciotiempo de Kerr por Matt Visser), dice

\begin{equation} g_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} (\Delta - a^{2}\sin^{2}\theta)\Sigma^{-1} & 0 & 0 & a\Sigma^{-1}r_{\text{S}}r\sin^{2}\theta \\ 0 & -\Delta^{-1}\Sigma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\Sigma & 0 \\ a\Sigma^{-1}r_{\text{S}}r\sin^{2}\theta & 0 & 0 & -\bigl((r^{2} + a^{2}) + a^{2}\Sigma^{-1}r_{\text{S}}r\sin^{2}\theta\bigr)\sin^{2}\theta \end{pmatrix} \end{equation} con \begin{align} \Delta &= r^{2} - r_{\text{S}}r + a^{2}, \\ \Sigma &= r^{2} + a^{2}\cos^{2}\theta. \end{align} El $g_{00}$ cambia su signo en las superficies $$r_{\text{E}}^{\pm} = M \pm \sqrt{M^{2} - a^{2}\cos^{2}\theta}$$ En su lugar, $g_{11}$ cambia su signo en las superficies $$r_{\pm} = M \pm \sqrt{M^{2} - a^{2}}$$ que determinan el exterior (con $+$ ) y el interior (con $-$ signo) horizontes de eventos. Así que cambian de signo en dos superficies diferentes. Como Jerry Schirmer señaló en un comentario Esto ocurriría también en la geometría de Schwarzschild con coordenadas no diagonales tipo Kerr (por ejemplo, ocurre con las coordenadas de Eddington-Finkelstein). Esto no significa que la firma de la métrica cambie: siempre habrá un valor propio negativo (positivo), y otros tres valores propios positivos (negativos). En un tensor métrico no diagonal (como el de Schwarzschild en coordenadas Eddington-Finkelstein o el de Kerr en coordenadas Boyer-Lindquist), las componentes diagonales del tensor métrico no son necesariamente los valores propios.