Teorías de Kaluza Klein, campo de dilatación y reducción dimensional

Question

Estoy leyendo algo sobre las teorías de Kaluza Klein y compactación. Tengo algunas pregunta conceptual:

(1) ¿por qué llamamos el quinto campo escalar $\Phi$ el campo de la dilatación? ¿Hay cualquier propiedad escalar para?

(2) ¿Qué sucede en este campo después de la reducción dimensional?

Muchas gracias si me puede proporcionar con más material de lectura. :)

Answer 1

Nos deja ejecutar rápidamente a través de la norma KK compactification. Vamos a empezar con un $d+1$ dimensiones la teoría de la $$ S = \frac{1}{16\pi G_{d+1}} \int d^{d+1}x \sqrt{G} R_{d+1} $$ Acciones más generales en la $d+1$ espacio tridimensional puede ser considerada, pero esto será suficiente para nuestros propósitos. La métrica $G_{MN}$ puede ser descompuesto como $$ ds^2 = G_{MN} dx^dx^N = e^{2\Phi} \left( dt + A_\mu dx^\mu \right)^2 + g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu $$ Suponemos ahora que $t$ es el compactified dirección con $t \sim t + 2 \pi R$. La teoría tiene las siguientes simetrías

1. $d$-dimensiones diffeomorphims, $x^\mu \to x'^\mu(x)$ en virtud de la cual $A_\mu$ $g_{\mu\nu}$ transformación de la categoría 1 y 2 tensores, respectivamente.

2. Medidor de transformaciones a lo largo de la compactified las direcciones, $t \to t + \lambda(x)$, $A_\mu \to A_\mu - \partial_\mu \lambda$. Esta simetría describe esencialmente la elección del lugar de origen en el compactified dirección.

Ahora, si la longitud de las escalas de nuestro problema son grandes en comparación con el radio de la compactified círculo de $R$,, suponemos que $\Phi$, $A_\mu$, y $g_{\mu\nu}$ son sólo funciones de $x^\mu$ e no $t$. (Esto solo se hace aquí para hacer las cosas más simples. Se puede considerar el caso más general donde los campos se expanden en los modos en los $t$ dirección. Esto nos da masivo de partículas en el $d$espacio tridimensional. No vamos a considerar aquí). Con este supuesto, nos encontramos con $$ R_{d+1} = R_d - 2 e^{-\Phi} \nabla^2 e^{\Phi} - \frac{1}{4} e^{2\Phi} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu},~~ \sqrt{G} = e^{\Phi} \sqrt{g} $$ La acción toma la forma $$ S = \frac{2\pi R}{16\pi G_{d+1}} \int d^d x \sqrt{g} e^{\Phi} \left[ R_d - \frac{1}{4} e^{2\Phi} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} + \nabla_\mu \Phi \nabla^\mu \Phi \right] $$ Así, observamos que en el $d$-dimensiones del espacio, tenemos un medidor de campo y de un campo escalar. La acción no es del todo en la de Einstein-Hilbert forma desde el campo escalar $\Phi$ a las parejas a $R_d$ $F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}$ no trivialmente. También, la cinética plazo para $\Phi$ tiene la señal equivocada. Este campo se llama la dilaton.

Para entender por qué $\Phi$ se llama la dilaton (relacionado con la dilatación, o en otras palabras de la escala), volvamos a la $d+1$ dimensiones métricas. Considere la posibilidad de la $S^1$ viviendo en un punto fijo $x^\mu$. La inducida por la métrica en este círculo es $$ ds^2_{S^1} = e^{2\Phi(x^\mu)} dt^2 $$ El tamaño de este círculo es $$ \int ds_{S^1} = \int_0^{2\pi R} dt e^{\Phi(x^\mu)} = 2\pi R e^{\Phi(x^\mu)} $$ Así, vemos que el radio efectivo del círculo en$x^\mu$$R e^{\Phi(x^\mu)}$. En otras palabras, el dilaton campo controla el tamaño del círculo.

Como un aparte, el compactified acción anterior está escrito en lo que se denomina la cadena de marco (nombre proviene de la teoría de cuerdas). Es posible ir a la más estándar de Einstein marco (donde la acción toma la forma $\sqrt{g} R$, etc) haciendo un campo de redefinición $g_{\mu\nu} \to e^{2\omega} {\tilde g}_{\mu\nu}$ y de manera apropiada la elección de $\omega$. En este marco, el escalar cinética término tiene el signo correcto. Sin embargo, todavía tenemos un no-trivial de acoplamiento a $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$.