Modelo Sullivan de la esfera impar

Question

Quiero determinar el modelo Sullivan de una esfera impar $S^{2n+1}$ . Dejemos que $(A,d)$ sea un cdga tal que $H^*(S^{2n+1};\mathbb Q)\cong H^*((A,d_A))$ como álgebras graduadas. Por lo tanto,

$$H^*((A,d))\cong H^0(S^{2n+1})\oplus H^{2n+1}(S^{2n+1}) $$

donde $H^0(S^{2n+1})$ es isomorfo al campo $\mathbb Q$ con base $\{1\}$ y $H^{2n+1}(S^{2n+1})$ es una dimensión $\mathbb Q$ -con base denotada por $\{e\}$ . Por otro lado, calculamos $H^*((A,d_A))$ volviendo a la definición. Escribe $A=\bigoplus_{i\geq 0}A^i$ entonces tenemos

$$0\longrightarrow A^0 \xrightarrow{d_0} A^1 \xrightarrow{d_1}A^2 \xrightarrow{d_1}\cdots A^{2n} \xrightarrow{d_{2n}} A^{2n+1} \xrightarrow{d_{2n+1}} A^{2n+2} \cdots $$ Aquí $H^0((A,d))$ siempre se supone que es isomorfo al campo $\mathbb Q$ con base $\{1\}$ . Y $H^{2n+1}((A,d))=Ker(d_{2n+1})/Im(d_{2n})$ que hemos dicho que es isomorfo a $H^{2n+1}(S^{2n+1})$ . Por lo tanto, $Ker(d_{2n+1})/Im(d_{2n})$ es una dimensión $\mathbb Q$ -espacio vectorial con base la clase $[v]$ de un cociclo $v\in Ker(d_{2n+1})\subset A^{2n+1}$ . Dejemos que $V$ denotan el espacio vectorial con base el cóclea $v$ . El cdga gratuito en $V$ es un álgebra exterior en $v$ denotado $\Lambda V$ . Este es un cdga con clasificación $ \Lambda V=\Lambda^0V\oplus\Lambda^1V$ donde $\Lambda^0V$ es isomorfo al campo $\mathbb Q$ con base $\{1\}$ y $\Lambda^1V$ es el unidimensional $\mathbb Q$ -espacio vectorial $V$ con base el cociclo $v$ . Afirmamos que el cdga $\Lambda V$ con diferencial cero es cuasi-isomorfo a $(A,d)$ . Un resultado de extensión asegura que la inclusión cdga $(V,0)\hookrightarrow (A,d)$ se extiende a un único morfismo cdga $$m:(\Lambda V,0)\hookrightarrow (A,d)$$ Ahora mostramos que el mapa inducido en la cohomología $H(m):H^*((\Lambda V,0))\longrightarrow H^*((A,d))$ es un isomorfismo. donde el cdga $(\Lambda V,0)$ se escribe $$0\longrightarrow \Lambda^0 V=\mathbb Q \xrightarrow{0} \Lambda^1 V=V \xrightarrow{0}0 \xrightarrow{0}\cdots 0 $$ Así, $H^*((\Lambda V,0))=H^0((\Lambda V,0))\oplus H^1((\Lambda V,0))$ mientras que $H^*((A,d))=H^0((A,d))\oplus H^{2n+1}((A,d))$ . El problema ahora es que $H(m)_1:H^1((\Lambda V,0))\longrightarrow H^1((A,d))=0$ no es una iso. También $H(m)_{2n+1}:H^{2n+1}((\Lambda V,0))=0\longrightarrow H^{2n+1}((A,d))$ no es una iso.. gracias por corregir cualquier detalle en los cálculos anteriores y por ayudarme a demostrar que $m$ es un cuasi-isomorfismo.

Answer 1

La clasificación en $\Lambda V$ está mal todavía quieres $\nu$ estar en grado $2n+1$ . Arreglar esto resuelve ambos problemas. Todas las demás cohomologías de $\Lambda V$ y $(A,d)$ es cero, así que una vez que has establecido que $H(m)$ es un isomorfismo en grados $0$ y $2n+1$ se deduce que $m$ es un cuasi-isomorfismo.

Aquí hay un algoritmo general para construir modelos mínimos de Sullivan de dgas simplemente conectados, mitad porque siento que mereces una mejor respuesta y mitad porque acabo de aprenderlo. Inductivamente dejemos que $f_n:(M(n),d_{M(n)}) \to (A,d_A)$ sea un morfismo con $M(n)$ un modelo mínimo y $f_n$ induciendo un isomorfismo en la cohomología en grados $<n$ y una inyección en la cohomología en grado $n$ . Recordemos que el cono de mapeo de $f_n$ se define como $C(n)^k = M(n)^k \oplus A^{k-1}$ , con diferencial $d_{C(n)}(m,a) = (d_{M(n)}(m), f_n(m) - d_A(a))$ . Definimos la cohomología relativa como $H^k(M(n), A) = H^k(C(n))$ . Si $V(n) = H^{n+2}(M(n), A)$ entonces $V(n)$ es un cociente de $Z^{n+2}(C(n))$ eligiendo un desdoblamiento de este mapa, y proyectando a $M(n)^{n+2}$ , da un mapa $g:V(n) \to Z^{n+2}(M(n))$ . Ahora definimos $M(n+1)$ para ser el producto tensorial de $M(n)$ y el cdga libre generado por $V(n)$ en grado $n+1$ con $d_{M(n+1)}(v) = g(v)$ para $v \in V(n)$ . El colímite de estos $M(n)$ será evidentemente un modelo Sullivan para $A$ .

Es un ejercicio (sólo moderadamente difícil) para demostrar que cada $M(n)$ está bien definida y que tienen las propiedades descritas por inducción. Es importante que $A$ estar simplemente conectados, de modo que al añadir los nuevos generadores en grado $n+1$ no tenemos ningún indeseado en grado $n+2$ . Si utilizas este método, siempre que aciertes con los grados, sabrás que vas por buen camino, ya que siempre tendrás la cohomología correcta hasta un determinado grado; si la cohomología de $A$ está acotado por encima, como en el caso de $S^{2n+1}$ el proceso se detendrá realmente. Puede y debe pensar en la $M(n)$ como una torre de Postnikov para $A$ .