Auto-evitar caminar en $\mathbb{Z}$

Question

¿Cuántas secuencias de $a_1,a_2,a_3,\dotsc$, satisfacer:
i) $a_1=0$
ii) ($a_{n+1}=a_n-n$ o $a_{n+1}=a_n+n$)
iii) $a_i\neq a_j$ $i\neq j$
iiii) $\mathbb{Z}=\{a_i\}_{i>0}$

Son las dos secuencias alternas las únicas soluciones?

$a_1,a_2,a_3,..=0,1,-1,2,-2,3,-3,4,...$
o
$a_1,a_2,a_3,..=0,-1,1,-2,2,-3,...$

Hay una secuencia satsifying i),iii),iiii) y ii) ($a_{n+1}=a_n-n^2$ o $a_{n+1}=a_n+n^2$) ?

Answer 1

Dos de las soluciones más obvias son :-

1. 0, 1, 3, 6, 10, 15, ... un = Sigma(n-1)

2. 0, -1, -3, -6, -10, -15, ... an = -Sigma(n-1)

Aquí, estoy considerando sólo una de las Fórmulas a la vez. Ya sea an = a(n-1) - n O an = a(n-1) + n de todos los números de la serie. Y por supuesto, aquí ai != aj (para i != j)

Ahora, teniendo en cuenta las soluciones que se dieron :

$a_1,a_2,a_3,..=0,1,−1,2,−2,3,−3,4,...$

Y

$a_1,a_2,a_3,..=0,−1,1,−2,2,−3,...$

Aquí, se han usado las fórmulas alternativas de moda, a partir de uno de ellos y así conseguir dos de la serie.

Ahora, tenga en cuenta an = a(n-1) - n como "Ir hacia Atrás" Y

an = a(n-1) + n como "Ir hacia adelante".

Observar una solución a continuación :-

$0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, 25, 43, ...$

Aquí sigo adelante, 3 veces, hasta llegar a $6$ y luego alternar entre yendo hacia atrás y adelante a partir de entonces. Desde mi primer par (es decir r) de los pasos hacia adelante, podría ser posible que yendo hacia atrás a partir de algunos ak podría conducir a un número que ya existe en la serie y violando la condición ai !+ aj (For i != j). Siempre que dicha violación se produce, me gustaría hacia adelante una vez más y, a continuación, intente ir hacia atrás y el proceso continúa.

Del mismo modo, también podemos ir hacia atrás un par de pasos (más concretamente más de 1 paso) y, a continuación, mantener la alternancia. Cada vez que hay una violación, volvemos una vez más y tratar de llegar hacia adelante y el proceso continúa.

Cuando nuestro paso inicial (antes de la alternancia) está a sólo 1 hora, a continuación se obtienen las dos soluciones que usted le dio. Y no hay ningún conflicto en cualquier paso en ese caso. Esto se puede generalizar a ir en una dirección para r veces y, a continuación, cambiar de estado. Esto llevaría a la INFINITA DICHA de la SERIE, ya que la r E N (Números Naturales), que son infinitos.

Sin embargo, esto es sólo un conjunto de infinte de la serie. Podríamos ir en cualquier diferente de la moda de la siguiente manera :

$0, 1, 3, 6, 2, -3, -9, ... $(De ahora en adelante hasta las 6 y, a continuación, volver)

O puede ser cualquier otro orden aleatorio.

Así, el número de posibles secuencias que satisfacen todas las 4 condiciones sería INFINITO.

Y para la respuesta a la segunda pregunta, la serie de satisfacciones an+1=an−n2 or an+1=an+n2,

Los dos siguientes son de nuevo las soluciones obvias :

$1. 0, 1, 5, 14, ... $(Avance)
$2. 0, -1, -5, -14, ...$ (Marcha atrás)