Anillos finitos sin divisores de cero son anillos de división.

Question

¿Cómo puedo demostrar esto:

Los anillos finitos sin divisores de cero son anillos de división.

Sé cómo demostrarlo cuando el anillo tiene $1$, pero no tengo idea si mi anillo necesita tener una unidad.

Answer 1

Dado que esta afirmación de la pregunta claramente se descontrola si permitimos que $\{0\}$ sea admitido, trabajaré bajo la suposición de que el anillo tiene al menos un elemento distinto de cero. Supongo también que "sin divisores de cero" significa eliminar tanto los divisores de cero izquierdos como los de cero derechos. (Actualización: más tarde se me ocurrió cómo mostrar que un anillo sin divisores de cero no tiene divisores de cero unilaterales distintos de cero. Si $ab=0$ para $a,b$ no nulos, entonces $ba\neq 0$ y $(ba)^2=0$, una contradicción. Por lo tanto, no existen divisores de cero unilaterales.)

Observa que la multiplicación por elementos distintos de cero debe permutar el conjunto finito de elementos no nulos del anillo. Sea $a$ un elemento no nulo. Existe un $b$ tal que $ab=a$. Automáticamente, $aba=a^2$ implica que $ba=a$ también. $b$ es nuestro candidato a identidad.

Ahora sea $c$ arbitrario y no nulo. Existe un $d$ tal que $da=c$. Pero entonces $c=da=dab=cb$ implica $c=cb$ y esto lleva de nuevo a $c^2=cbc$ y $bc=c$.

Así que $b$ actúa como una identidad para elementos arbitrarios no nulos. Trivialmente actúa como una identidad para $0$. Por lo tanto, $b$ es la identidad para el anillo.

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Aquí hay otra prueba interesante. Llama a este anillo $R$ y mira la extensión de Dorroh $\Bbb Z\times R=\{(z,r)\mid z\in \Bbb Z, r\in R\}$. En caso de que no estés familiarizado con esto, la adición es $(z,r)+(z',r')=(z+z',r+r')$ y la multiplicación es $(z,r)(z',r')=(zz',zr'+z'r+rr')$. Crea un nuevo anillo $R_1$ que tiene a $R$ como un ideal.

Dado que $R^2=R$ y $R$ es finitamente generado, podemos aplicar el lema de Nakayama a $R$ para obtener la existencia de un elemento $x\in R$ tal que $(1-x)R=\{0\}$. Desglosando eso, vemos que $x$ es un elemento identidad izquierdo de $R$. Haciendo lo mismo a la derecha, hay una identidad derecha (necesariamente también $x$).

Answer 2

Considera, para $a\in R$, el mapa $r_a\colon R\to R$ definido por $r_a(x)=xa$; este mapa es inyectivo si $a\ne0$, por lo tanto, es sobreyectivo. Así que hay un elemento $b$ tal que $ba=a$. Por supuesto, $b\ne0$; por lo tanto, existe $c\in R$ tal que $bc=b. Entonces, para cada $x\in R$, $$ bx=bcx $$ y así $x=cx$. Por lo tanto, hay una identidad izquierda. De manera similar, hay una identidad derecha.