Cambio de estudiantes (defecto en mi solución)

Question

Hay 11 estudiantes en una clase, incluyendo a, B y C. El 11 estudiantes tienen que formar una línea recta. Siempre que Una no puede ser la primera persona en la línea, ¿cuál es la probabilidad de que en cualquier reordenación aleatoria de la línea, viene antes de B y C.

Por ejemplo, es un válido de reordenamiento (1-8 son otros de los estudiantes)

1 2 3 4 5 C 6 A 7 B 8

Aquí está mi solución -

Probabilidad de que Una va antes de B y C sin ningún tipo de restricciones es $\frac13$. (Nótese la simetría. La respuesta será la misma para B va primero y C va primero).

Probabilidad de que Una va por primera vez sin ningún tipo de restricciones es $\frac{1}{11}$

Por lo tanto la respuesta es

$$\frac13 - \frac{1}{11} = \frac{8}{33}$$

Pero la respuesta es $\frac{4}{15}$ según mi libro de texto. Por favor, ayúdame a encontrar un error en mi solución.

Answer 1

Ver total formas de organización de todos modos son $10.10!$. Ahora las maneras limitadas. Como una no puede ser el primera así que vamos a poner en 2do lugar para B, C tiene que venir después de dejar que sea CB BC no importa así que tenemos que multiplicar todos los términos con $2!$ como A es de 2 º tenemos ${9\choose 2}.2!$ opciones B, C y $8!$ restante ahora si A es $3$ colocar entonces tenemos ${8\choose 2}.2!$ b , C y otros para que esto se puede hacer para el A hasta el lugar de $8!$ $9th$. Espero que usted sabe la razón. así que la probabilidad se convierte en $$\frac{(2!.8!.({9\choose 2}+{8\choose 2}+...+{2\choose 2})}{10.10!}=\frac{4}{15}

Answer 2

Cuando el problema dice "Siempre $A$ no puede ser la primera persona en la línea, ¿cuál es la probabilidad de..." es en realidad pidiendo el condicional probabilidad de que $A$ viene antes de $B$ $C$ dado que $A$ no es la primera persona en línea. Así que si dejamos $E$ ser el caso de que $A$ viene antes de $B$$C$, e $F$ ser el caso de que $A$ no es la primera persona en la línea, lo que queremos es

$$P(E|F)={P(E\cap F)\over P(F)}$$

Ahora lo que se calcula en ${1\over3}-{1\over11}={8\over33}$ es en realidad el numerador, $P(E\cap F)$. Para la probabilidad de que el problema pide, aún tenga en cuenta que $P(F)={10\over11}$, por lo que

$$P(A\text{ comes before $B$ and $C$ }|\,A\text{ is not first in line})={8/33\over10/11}={4\over15}$$

Answer 3

$\binom{10}{3}$ es el número de formas de seleccionar 3 ranuras en 10 posible. Ahora sólo cuenta el hecho de que b y c puede intercambiar para cada opción de ranuras.

EDICIÓN: Una vez que ha hecho esto, multiplicar por $8!$ (cambio de los estudiantes restantes) y dividir por $10!10$ (número total de arreglos)

Answer 4

Hay dos posibilidades para los lugares de A, B, C:

1) si no incluyen el primer lugar, entonces allí son $\dbinom{10}{3}$ opciones para los lugares combinados para A, B, C, y sólo el $\frac{1}{3}$ de los arreglos tiene antes de B y C.

2) si incluyen el primer lugar, luego hay $\dbinom{10}{2}$ opciones para las posiciones combinadas para A, B, C, y sólo $\frac{2}{3}$ de los arreglos no tener A en primer lugar.

Por lo tanto la probabilidad es dada por $\displaystyle\frac{\frac{1}{3}\binom{10}{3}}{\binom{10}{3}+\frac{2}{3}\binom{10}{2}}=\frac{40}{120+30}=\frac{4}{15}$.

Answer 5

Es seguro que posibilidad A precede B, C es 1/3. Pero A no debe ser el primero.

$○○CB$

es posible 1 patrón

$○○○CB$

2 patrón

・

・

・

8 patrones

1 + 2 + ・・・8 / 1 + 2 + 3 + ・・ + 9

= 55-19/55-10

= 36/45

= 4/5

Y entonces

1/3 * 4/5 = 4/15