Explicar/ilustrar Goedel ' s teoremas y posibles implicaciones para no matemáticos

Question

Me pidieron que diera una charla sobre (a) la práctica de matemáticas, (b) axiomatization, (c) Gödel de teoremas y (d) posible antimechanist argumentos basados en los teoremas de incompletitud (como se menciona en el P Smith Introducción a Gödel de teoremas, 28.6., J Lucas o R Penrose) a los no-matemáticos.

Como todos estos puntos no pueden ser explicados en 1 hora, tengo que hacerla corta, mientras que todavía siendo capaz de presentar un cuadro coherente de hablar. Así que sin duda va a faltar algo, la pregunta es qué. Para el transporte de la intuición/mensaje, probablemente voy a citar, incluso algunas cosas no del todo correcta.

La parte acerca de la lógica y Goedel de teoremas (c), debe ser completa y suficientemente detallada para permitir que explica Gödel en una más imprecisa nivel y, finalmente, para permitir al menos bosquejar posible antimechanist argumentos basados en los teoremas de incompletitud (d).

La pregunta es: cómo presentar mejor esta parte? Como yo no puede sustituir un curso entero en la lógica matemática y el otro todo el curso acerca de Goedel del teoremas dentro de una media hora en el detalle completo, tengo que encontrar una manera de hacerla corta, aunque los puntos más importantes. ¿Tiene ideas y recomendaciones de cómo manejar este acto de equilibrio y permitir que la audiencia para obtener la idea general acerca de lo que realmente es Goedel se habla y donde su teorema de la incompletitud 'aplica'? Tal vez hay ejemplos ilustrativos, juguete ejemplos o fáciles de conseguir analogías..

Como yo no sentirse cómodo con tal de hablar, le agradecería cualquier comentarios útiles sobre cómo organizar el discurso. Cómo, de manera intuitiva, pero todavía presentan precisamente coherente hablar que transporta los puntos más importantes. Me gustaría aclarar algunos puntos de vista de las matemáticas (matemáticas no es ser un experto en hacer los cálculos) y lo que está mal acerca de un filósofo en lugar uncautious citando Gödel ya que "no podemos probar de todo" - parece populares sin saberlo citar Gödel como es citar la mecánica cuántica.

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Nota: Como soy nuevo en este foro, espero que lo hice de la manera correcta, para abrir una nueva pregunta, ya es otra cuestión, a pesar de estar relacionados con la misma conversación.

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¿Hay alguien que especialmente tiene algunas buenas ideas punteros para (d)? Y en cualquier insinuación donde intuitivamente lógicamente razonamiento conduce a conclusiones erróneas? Como los armónicos de la serie convergente etc?

Answer 1

La audiencia será, seguramente, probablemente, tienen una falsa expectativa de que tan potente mecánica de razonamiento es: es importante para restablecer esa expectativa. Por ejemplo, podrían no darse cuenta de que el Go es un resuelto juego, de hecho, es casi un ejercicio trivial para escribir un programa de ordenador que se reproduce perfecto Ir. Todo el desafío en el juego del Go "mecánicamente" es encontrar un programa que sólo necesita un par de billones de cálculos y un par de billones de bytes de almacenamiento.

Trabajando a través de un programa que demuestra cada teorema de Peano aritmética podría ser un ejemplo esclarecedor.

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Pero axiomatization es algo irrelevante para el tema. Es probablemente vale la pena señalar que al otro perfectamente bien axiomatization de la geometría Euclidiana es aquella en la que cada teorema es un axioma. Todas las pruebas de los teoremas son trivial declaraciones "Es un axioma. QED". El reto con la realización de la mecánica de razonamiento con este axiomatization es averiguar si cualquier declaración es un axioma o no.

Si tuviéramos un modelo de los números naturales, se puede elegir el conjunto de todos los enunciados verdaderos acerca de que modelo como un axiomatization de la aritmética de enteros. El problema aquí es que no hay ningún programa de ordenador que puede decir si una afirmación es un axioma o no -- de hecho, esta fue la primera versión de Gödel del teorema de la incompletitud de las que había visto, precisamente, declaró.

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También es probablemente vale la pena mostrar una conocida teoría de que Gödel los teoremas no se aplicará a: de primer orden, la geometría Euclidiana es un buen ejemplo. Tarski traduce a la lengua de la real de campos cerrados, y proporciona una expresión algebraica herramienta que puede resolver cualquier problema aritmético, dando así un programa de ordenador que puede decidir si cualquier declaración en particular de la geometría Euclidiana es un teorema o si su negación es un teorema.

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Es probablemente vale la pena decir algo acerca de los modelos estándar. Muchos de los argumentos que no invocar simplemente que el teorema de Gödel demuestra que algún enunciado indecidible, pero que en realidad es verdadera. Cabe señalar que hablar de "la verdad" hace algunos supuestos acerca de la semántica. También puede ser vale la pena decir algo sobre interno versus externo razonamiento -- muchos de los argumentos que he visto que implican el teorema de Gödel hacer análogo de los errores en el razonamiento que lleva a la de la paradoja de Skolem.

Pero en estos últimos puntos, realmente no puedo ofrecer mucho consejo: parece ser un tema difícil, incluso para los matemáticos.