¿Existe un nombre para un grupo que tiene un subgrupo normal por cada divisor del orden?

Question

Supongamos que G es un grupo de orden $n$ .

¿Existe un nombre (o un criterio fácil) para la propiedad de que para todo divisor $d|n$ existe un subgrupo normal de orden $d$ ?

Los grupos abelianos y los grupos p tienen esta propiedad, pero otros grupos también la satisfacen. Los grupos diédricos (excluyendo los grupos 2) no tienen esta propiedad.

Answer 1

Sí, estos son precisamente los finitos grupos nilpotentes .

Esto se debe a que un grupo finito es nilpotente si y sólo si tiene un único - es decir, normal - Sylow $p$ -subgrupo para cada divisor primo $p$ de su orden. Y así, los grupos nilpotentes finitos son exactamente los productos directos de grupos de orden primo-potente.

Answer 2

Si se elimina la condición de normalidad de los subgrupos, esta clase de grupos se llama Grupos CLT (satisfaciendo el C onverso de L agrange's T heorema). Hay un artículo clásico de Henry Bray que proporciona las propiedades básicas de estos grupos. Tenemos las siguientes inclusiones propias de clases $$\{Nilpotent \text{ } Groups\} \subsetneq \{Supersolvable \text{ } Groups\} \subsetneq\{CLT \text{ } Groups\} \subsetneq \{Solvable \text{ } Groups\}.$$ Los grupos CLT no son ni subgrupos ni cocientes cerrados, pero un producto directo finito de grupos CLT es de nuevo CLT.