¿Cuántos automorfismos tiene $S_3\times S_3$?

Question

He demostrado que $|\text{Aut}(S_3\times S_3)|\ge 72$, ¿cómo puedo mostrar que $|\text{Aut}(S_3\times S_3)|\le 72$?

Answer 1

Necesita mostrar que los factores directos son los subgrupos normales sólo de $G = S_3 \times S_3$ que son isomorfos a $S_3$. Eso implica que cualquier automorfismo debe fijar ambos factores directos o intercambiarlos. Desde ${\rm Aut}(S_3) \cong S_3$, hay $36$ que fijan los mismos ambos y otro $36$ que intercambiarlos.

En primer lugar podría demostrar que hay sólo dos subgrupos normales de orden $3$ y entonces muestran que hay sólo una manera de extender a cada uno de ellos a un subgrupo normal de orden $6$.