Cuántos grupos abelian diferentes existen, que incluyen subgrupos $ \mathbb Z/12 \mathbb Z$

Question

Cuántos diferentes abelian existen grupos que incluyen los subgrupos $\mathbb Z/12 \mathbb Z$ y el factor por este subgrupo también es isomorfo a $\mathbb Z/12 \mathbb Z$?

Mi sugerencia es que debería tener el grupo de 144 elementos (porque de 12 elementos en los subgrupos y 12 clases). Así, el grupo de $144 $ elementos puede ser descompuesto en estos 4 diferentes directa de sumas:

$\mathbb Z/144 \mathbb Z$

$\mathbb Z_{12} \times \mathbb Z_{12}$

$\mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{4} \times \mathbb Z_{12}$

$\mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{4} \times \mathbb Z_{3} \times \mathbb Z_{4}$

que incluye los subgrupos isomorfo a $\mathbb Z/12 \mathbb Z$

Y esto significa que la respuesta es "4".

Estoy en lo cierto?

Answer 1

Una consecuencia del teorema del Resto Chino es que, si $n = ab$, luego $$\mathbb{Z}_{n} \cong \mathbb{Z}_a \times \mathbb{Z}_b \iff \gcd(a,b) = 1.$$

El primer descomposición de $144 = 2^4 \cdot 3^2$, por lo que podemos enumerar todos los Abelian grupos de orden $144$ (hasta el isomorfismo) como sigue:

1. $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$
2. $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_9$
3. $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$
4. $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_9$
5. $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$
6. $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{8} \times \mathbb{Z}_9$
7. $\mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$
8. $\mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_{4} \times \mathbb{Z}_9$
9. $\mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$
10. $\mathbb{Z}_{16} \times \mathbb{Z}_9$

Ahora tenemos que determinar cual de estos tiene un subgrupo isomorfo a $\mathbb{Z}_{12} \cong \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_4$. Este es el caso si y sólo si tiene un componente $\mathbb{Z}_n$ $4|n$ y un componenet $\mathbb{Z}_m$$3|m$, por lo tanto:

1. Nope.
2. Nope.
3. Sí, tomar el subgrupo generado por a $(0,0,1,1,0)$
4. Sí, tomar el subgrupo generado por a $(0,0,1,3)$.
5. Sí, tomar el subgrupo generado por a $(0,2,1,0)$.
6. Sí, tomar el subgrupo generado por a $(0,2,3)$.
7. Sí, tomar el subgrupo generado por a $(1,0,1,0)$.
8. Sí, tomar el subgrupo generado por a $(1,0,3)$.
9. Sí, tomar el subgrupo generado por a $(4,1,0)$.
10. Sí, tomar el subgrupo generado por a $(4,3)$.

Finalmente, el cociente también debe ser isomorfo a $\mathbb{Z}_{12} \cong \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_4$. Tenga en cuenta que $\mathbb{Z}_8 / \mathbb{Z}_4 \cong \mathbb{Z}_2$; $\mathbb{Z}_{16} / \mathbb{Z}_4 \cong \mathbb{Z}_4$ y $\mathbb{Z}_9 / \mathbb{Z}_3 \cong \mathbb{Z}_3$, por lo tanto:

3. Cociente es $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times (\mathbb{Z}_4/\mathbb{Z}_4) \times (\mathbb{Z}_3/\mathbb{Z}_3) \times \mathbb{Z}_3 \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$
4. Cociente es $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times (\mathbb{Z}_4/\mathbb{Z}_4) \times (\mathbb{Z}_9/\mathbb{Z}_3) \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$
5. Cociente es $\mathbb{Z}_2 \times (\mathbb{Z}_8/\mathbb{Z}_4) \times (\mathbb{Z}_3/\mathbb{Z}_3) \times \mathbb{Z}_3\cong \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$
6. Cociente es $\mathbb{Z}_2 \times (\mathbb{Z}_8/\mathbb{Z}_4) \times (\mathbb{Z}_9/\mathbb{Z}_3) \cong\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_3$
7. Cociente es $(\mathbb{Z}_4/\mathbb{Z}_4) \times \mathbb{Z}_4 \times (\mathbb{Z}_3/\mathbb{Z}_3) \times \mathbb{Z}_3\cong \mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_3$
8. Cociente es $(\mathbb{Z}_4/\mathbb{Z}_4) \times \mathbb{Z}_4 \times (\mathbb{Z}_9/\mathbb{Z}_3) \cong\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_3$
9. Cociente es $(\mathbb{Z}_{16}/\mathbb{Z}_4)\times (\mathbb{Z}_3/\mathbb{Z}_3) \times \mathbb{Z}_3 \cong\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_3$
10. Cociente es $(\mathbb{Z}_{16}/\mathbb{Z}_4)\times (\mathbb{Z}_9/\mathbb{Z}_3) \cong\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_3$

Así que, sí, la respuesta es, de hecho,$4$ -, pero el camino para llegar allí es muy diferente de lo que usted sugiere!

Answer 2

Observe que $\;\Bbb Z_3\times\Bbb Z_4\cong\Bbb Z_{12}\;$, así que su segundo, grupos de terceros y cuarto son las mismas (hasta isomorfismo).

¿Ves cómo solucionar tu respuesta ahora?