Problema con Courant ' s ' Introducción al cálculo y al análisis '

Question

Estoy confundido de "Otro ejemplo es proporcionado por la función $f(x) = x^2$.' Estoy seguro de que las páginas anteriores, y de haber leído el libro que ya no son necesarios ya que mi problema es con las manipulaciones y los conceptos.

Soy capaz de seguir las manipulaciones, pero la confusión en cuanto a cómo llegó al resultado

$\delta$ $= -|x_o| + $($\epsilon$ $+|x_o|^2)^{1/2}$

Gracias por su tiempo

Answer 1

$$\delta (2|x_0|+\delta)< \epsilon$$

$$\delta^2+2\delta|x_0|-\epsilon<0$$

Utilizando la fórmula cuadrática

$$\frac{-2|x_0|-\sqrt{4|x_0|^2+4\epsilon}}{2} < \delta < \frac{-2|x_0|+\sqrt{4|x_0|^2+4\epsilon}}{2}$$

Por lo tanto, es suficiente para elegir $\delta=\frac{-2|x_0|+\sqrt{4|x_0|^2+4\epsilon}}{2}=-|x_0|+\sqrt{|x_0|^2+\epsilon}$

Answer 2

Tenga en cuenta la desigualdad establecida ya:

$ |f(x) - f(x_0) | \le \delta (2 | x_0 | + \delta) $$

Ahora sustituye el % elegido $\delta=\sqrt{\epsilon + |x_0|^2} - |x_0|$y lo sigue:

$$\begin{align} |f(x) - f(x_0)| & \le \left(\sqrt{\epsilon + |x_0|^2} - |x_0|\right) \left(2 |x_0| + \sqrt{\epsilon + |x_0|^2} - |x_0|\right) \\ & = \left(\sqrt{\epsilon + |x_0|^2} - |x_0|\right)\left(\sqrt{\epsilon + |x_0|^2} + |x_0|\right) \\ & = \epsilon + |x_0|^2 - |x_0|^2 \\ & = \epsilon \end {Alinee el} $$

Answer 3

Soy capaz de seguir las manipulaciones pero la confusión en cuanto a cómo llegó al resultado

A juzgar por el texto, en este punto no se espera a ser capaz de llegar con esa fórmula, o cualquier otra fórmula, por $\delta$ ti mismo. Su aparición aquí es sólo para la exposición: simplemente para demostrar que una fórmula que existe para hacer que funcione.

Usted debe, sin embargo, ser capaz de conectar en la fórmula en la definición de continuidad para comprobar que realmente muestra que $x \mapsto x^2$ es continua en a $x_0$.

También, y esto es muy importante: la fórmula no es un resultado. Trabajar con el $\epsilon$-$\delta$ definición de los límites no es una "resolver para $\delta$" tipo de problema. Cuando el límite existe, no va a ser todo un intervalo de valores de $\delta$ que es suficiente, y siempre que se encuentre nada en ese intervalo, has conseguido.

Answer 4

Se inicia desde $$ 2|x-0|δ+δ^2<ϵ. $$ Para completar el cuadrado, agregar $|x_0|^2$ a ambos lados, $$ (|x_0|+δ)^2<ϵ+|x_0|^2\iff -\sqrt{|x_0|^2+ϵ}<|x_0|+δ<\sqrt{|x_0|^2+ϵ} $$ La izquierda de la desigualdad es trivialmente cierto, la derecha le da el reclamado vinculado $$ δ<-|x_0|+\sqrt{|x_0|^2+ϵ}=\fracϵ{|x_0|+\sqrt{|x_0|^2+ϵ}} $$ Como todas las transformaciones fueron equivalencias, la elección de un $δ$ satisface la condición de continuidad.

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Tenga en cuenta que, más en general, la técnica es la demanda de $δ=\min(1,\bar δ)$, de modo que uno puede extraer un factor linear $δ$ y el vinculado a los $δ$ en el resto de factor de a $1$, $$ δ(2|x_0|+δ)\le \bar δ(2|x_0|+1). $$ Esto tendrá un límite $ ϵ$ si $\bar δ=\frac{ϵ}{2|x_0|+1}$ es elegido. Todo en todos $$ δ=\min\left(1,\frac{ϵ}{2|x_0|+1}\right) $$ es una opción válida.

Answer 5

Derivación alternativa:

Usted quiere encontrar una $\delta$ tal que para un determinado $\epsilon$, $|x-x_0|<\delta\implies|x^2-x_0^2|<\epsilon$.

Puede reescribir la condición como

$$x_0^2-\epsilon<x^2<x_0^2+\epsilon,$$

entonces suponiendo que $x>0$,

$$\sqrt{x_0^2-\epsilon}-x_0<x-x_0<\sqrt{x_0^2+\epsilon}-x_0.$$

Tomando el valor absoluto,

$$|x-x_0|<\min\left(\left|\sqrt{x_0^2-\epsilon}-x_0\right|,\left|\sqrt{x_0^2+\epsilon}-x_0\right|\right)=:\delta.$$

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Uno puede luchar para establecer cuál de estos límites es el más pequeño (en realidad la '$+$' por la concavidad de la raíz cuadrada). De todos modos, ninguno de ellos es cero, la expresión '$\min$' es suficiente para la prueba.