Un interesante cuadro de la Primer Generación de polinomios similar a $n^2+n+41$?

Question

He aquí algunos datos sobre cuadrática primer generación de polinomios de una forma particular. Amablemente vistazo a las preguntas dadas a continuación. Nota: El discriminante $d$ es cuadrado-libre y su número de clase $h(d)$ también se da.

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{#} & P(n)=an^2+bn+c & d = b^2-4ac & h(d) & Prime\; range &Total\,(T)\\ \hline \text{I. Type}\;a = b\\ 1& n^2+n+41 & \color{red}{-163}& 1&0 - 39&40\\ 2& n^2+n-35953 & 143813& 1& 172- 196& 25\\ 3& n^2+n-169933 & 679733& 1& 379- 403& 25\\ 4& n^2+n-200743 & 802973& 1& 429- 458& 30\\ 5& 2n^2+2n-23813 & 47627& 8& 89- 113& 25\\ 6& 3n^2+3n-199 & 2397& 2& 0- 22& 23\\ 7& 3n^2+3n-35597 & 427173& 3& 97- 124& 28\\ 8& 3n^2+3n-49807 & 597693& 2& 110- 137& 28\\ 9& 3n^2+3n-61169 & 734037& 2& 126- 152& 27\\ 10a& 4n^2+4n-(4d'-1) & d'=227& 1& 2- 26& 25\\ 10b& 4n^2+4n-(16d'-1) & d'=227& 1& 19- 39& 21\\ 11& 4n^2+4n-(d-1) & d=\color{blue}{398}& 1& 0- 26& 27\\ 12& 4n^2+4n-(4d-1) & d=\color{blue}{398}& 1& 1-35& \color{blue}{35}\\ 13& 4n^2+4n-(16d-1) & d=\color{blue}{398}& 1& 23-53& 31\\ 14& 6n^2+6n+31 & \color{red}{-177}& 4& 0-28& 29\\ 15& 7n^2+7n-43 & 1253& 1& 3-26& 24\\ 16& 7n^2+7n-44893 & 1257053& 3& 67-91& 25\\ 17& 8n^2+8n-(\tfrac{d}{2}-2) & d=\color{blue}{398}& 1& 0-30& 31\\ 18& 9n^2+9n-1147 & 4597& 3& 1-27& 27\\ 19& 9n^2+9n-1801 & 7213& 1& 0-23& 24\\ 20& 11n^2+11n-23993 & 1055813& 4& 34-65& 32\\ 21& 12n^2+12n-12041 & 9033& 1& 25-49& 25\\ 22& 16n^2+16n-8773 & 8777& 1& 5-29& 25\\ \hline \text{II. Type}\;b = 0\\ 1& 2n^2+29 & \color{red}{-58}& 2& 0-28& 29\\ 2& 4n^2-2273 & 2273 & 1& 8- 34& 27\\ 3& 4n^2-8153& 8153& 1& 32- 56& 27\\ 4& 4n^2-8777& 8777& 1& 33- 60& 27\\ 5& 12n^2-5419 & 16257& 5& 4- 33& 30\\ \hline \end{array}$$

Me he encontrado con estas haciendo Mathematica ver el $P(n)=an^2\pm bn \pm p_k$ tal que $P(n)$ es el primer para, al menos, $24$ n. Mi búsqueda fue un poco crudo por lo que puede ser mejorado.

Preguntas: Vamos a $P(n)$ ser de estos dos tipos y de rango restringido a $n \ge 0$:

1. Cualquier otro $P(n)$ con rango total $T \ge 24$? (Mathworld perdidas #12 que es $P(n)=4n^2+4n-1591$$T=35$, así que yo supongo que hay más).
2. Hay uno con $T>40$?
3. ¿Por qué el real cuadrática campo con $d=398$ aparecen a menudo?
4. Puede un $P(n)$ tiene dos prime rangos que son relativamente largos?

$\color{green}{Update}$:

En cuanto a la pregunta 4. Resulta $P(n)=4n^2+4n+397$ es el primer para rangos de $n=0-26$$n=122-137$. También comprobé $P(n)=n^2+n+41$ y se encontró que la única otra de largo alcance es $n=219-231$.

Answer 1

He encontrado un número significativo de polinomios de este tipo de con $T\ge 24$ pero nada con $T>40$.

El primer $k$-tuplas conjetura se sugiere que debe ser ejemplos con $T$ arbitrariamente grande desde $2n^2$ $n^2+n$ omitir algunos residuos de clases para cada primer. Por ejemplo, para $n=0,1,\ldots,9$ las diferencias $n^2+n-(0^2+0)$ $(0,2,6,12,20,30,42,56,72,90)$ que forma admisible de 10-tupla de las diferencias de los números primos. Así que podemos esperar que los hay infinitamente muchos conjuntos de números primos con estas diferencias, por ejemplo, están comenzando a,

$$11,17,41,844427,51448361,86966771,122983031,180078317$$

(Edit: Ver A191456.) Para generar estos polinomios con $T\ge 10$ sólo podemos ver por estos, por ejemplo,$n^2+n+41$, $n^2+n+51448361$ y $n^2+n+180078317$ todos los trabajos, el primero y el último tienen $T>10$. Del mismo modo las diferencias de $n=0,1,\ldots,39$ forma admisible de 40-tupla de modo que no debe ser mayor de los números primos $q$ tal que $n^2+n+q$$T\ge 40$, pero va a ser difícil encontrar con la fuerza bruta.

Aquí están algunos con $T\ge 27$. Aquí $\operatorname{sqfr}(d)$ es la plaza de la parte libre del discriminante. $$ \begin{array}{|cccccc|} \hline Type & P(n) & T & \operatorname{sqfr}(d) & h(d) \\ \hline I & n^2+n-1354363 & 29 & \color{blue}{5417453} & 4 \\ I & 2(n^2+n)-177953 & 27 & 355907 & 2 \\ I & 3(n^2+n)-675299 & 34 & 8103597 & 6 \\ I & 3(n^2+n)-122957 & 30 & 1475493 & 2 \\ I & 5(n^2+n)-65063 & 27 & 1301285 & 4 \\ I & 5(n^2+n)-611903 & 27 & 12238085 & 4 \\ I & 5(n^2+n-6)\color{green}{-281837} & 27 & \color{green}{5637365} & 2 \\ I & 9(n^2+n)-90071 & 27 & 360293 & 1 \\ I & 9(n^2+n)-867551 & 27 & 3470213 & 3 \\ I & 11(n^2+n)-258113 & 27 & 11357093 & 1 \\ I & 12(n^2+n)-236111 & 27 & 708342 & 4 \\ I & 15(n^2+n)-157147 & 27 & 9429045 & 8 \\ I & 22(n^2+n)-330271 & 28 & 7266083 & 8 \\ I & 22(n^2+n)-10273 & 28 & 226127 & 4 \\ I & 35(n^2+n)+6283 & 24 & -878395 & 92 \\ I & 38(n^2+n)-9287 & 34 & 353267 & 4 \\ I & 41(n^2+n)-33023 & 29 & \color{blue}{5417453} & 4 \\ I & 45(n^2+n)-1322611 & 29 & 26452445 & 2 \\ I & 125(n^2+n)\color{green}{-281837} & 27 & \color{green}{5637365} & 2 \\ I & 175(n^2+n)-333103 & 28 & 9328109 & 1 \\ I & 210(n^2+n) - 71899 & 29 & 15109815 & 32 \\ \hline II & 2n^2-181 & 28 & 362 & 2 \\ II & 6n^2-140897 & 33 & 845382 & 6 \\ II & 14n^2-85093 & 28 & 1191302 & 2 \\ II & 22n^2-20051 & 27 & 441122 & 2 \\ II & 30n^2-176399 & 27 & 5291970 & 8 \\ II & 38n^2-856759 & 28 & 32556842 & 2 \\ II & 42n^2-153779 & 28 & 6458718 & 8 \\ II & 258n^2+3331 & 27 & -859398 & 240 \\ \hline \end{array} $$

$n^2+n-1354363$ también tiene otro ejecución de 18 primos y $14n^2-85093$ otra de 17.

Según la petición en los comentarios, aquí hay unos cuantos más pares de polinomios con la coincidencia de la $\operatorname{sqfr}(d)$ (uno se repite desde arriba). $$ \begin{array}{|cccc|} \hline P(n) & T & \operatorname{sqfr}(d) & h(d) \\ \hline 3(n^2+n-2)-58111 & 20 & 697413 & 4 \\ 3^3(n^2+n)-58111 & 20 & 697413 & 4 \\ \hline 3(n^2+n-2)-92893 & 20 & 1114797 & 2 \\ 3^3(n^2+n)-92893 & 18 & 1114797 & 2 \\ \hline 3(n^2+n-2)-1070633 & 16 & 12847677 & 2 \\ 3^3(n^2+n)-1070633 & 18 & 12847677 & 2 \\ \hline 5(n^2+n-6)-281837 & 27 & 5637365 & 2 \\ 5^3(n^2+n)-281837 & 27 & 5637365 & 2 \\ \hline 5(n^2+n-6)-1076687 & 13 & 21534365 & 12 \\ 5^3(n^2+n)-1076687 & 19 & 21534365 & 12 \\ \hline 7(n^2+n-12)-112417 & 18 & 3150077 & 1 \\ 7^3(n^2+n)-112417 & 18 & 3150077 & 1 \\ \hline 7(n^2+n-12)-214519 & 18 & 6008933 & 14 \\ 7^3(n^2+n)-214519 & 16 & 6008933 & 14\\ \hline \end{array} $$

Answer 2

He publicado un método para generar un número infinito de primer generación de polinomios. De hecho, al menos un primer generar polinomio puede ser derivada para cada entero. Abajo está el enlace.

¿Qué podemos aprender de la primer generación de polinomios?