Conexión entre $GL(\mathbb{Z}_p)$y $GL(\mathbb{F}_p)$

Question

Supongamos que hay un grupo finito $G$. Hay una conexión entre representaciones indescomponible $\mathbb{Z}_p$ y $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$. Sé qué hacer si $G$ es cíclico. ¿Pero si no es así?

Si esto no es posible: Supongamos que $G$ tiene un subgrupo normal. Por lo que la inducción sería posible. ¿Hay literatura (que no es demasiado difícil) para tal una inducción, donde las representaciones son no sobre un campo (como en Teorema de Clifford), sino sobre un anillo?

Mejor sistema

Answer 1

$\newcommand\Z{\mathbb{Z}}$ Hay una conexión entre indecomposable representaciones sobre $\Z_p$ $\Z/p^n\Z$ todos los $n$, que va como sigue: claramente, si $M$ $\Z_p[G]$- módulo tal que $M/p^nM$ es un indecomposable $(\Z/p^n\Z)[G]$-módulo para algunos $n$, $M$ es indecomposable (desde cualquier descomposición de $M$ iba a descender a una descomposición de la reducción). Lo contrario es un teorema:

Teorema: Un $\Z_p[G]$-módulo de $M$ es indecomposable si y sólo si $M/p^nM$ es indecomposable para algunos $n$.

Esta $n$ podría ser tomado mayor que 1 para conseguir realmente "si y sólo si". También

Teorema: Si $M,N$ dos $\Z_p[G]$-módulos, a continuación, $M\cong N$ si y sólo si $M/p^kM$ $N/p^kN$ son isomorfos $(\Z/p^k\Z)[G]$-módulos para algunos explícitamente computable $k$.

Estos resultados y mucho más se puede encontrar en Curtis y Reiner, teoría de representaciones de grupos finitos y álgebra asociativa, §76.