Encuentra

Question

Encontrar a $$\int \frac{1}{x^4+x^2+1} \,\, dx$ $

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He intentado encontrar como eso:

$\int \frac{1}{x^4+x^2+1} = \int \frac{\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}}{x^2+x+1} \,\, dx + \int \frac{-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}}{x^2-x+1} \,\, dx = \frac{1}{2} \Big(\int \frac{2x + 1}{x^2+x+1} - \int \frac{x}{x^2+x+1} \Big) - \frac{1}{2} \Big( \int \frac{2x - 1}{x^2-x+1} \,\, dx - \int \frac{x}{x^2-x+1} \,\, dx \Big)$

pero entonces no sé cómo encontrar integrales: $\, \int \frac{x}{x^2-x+1} \,\, dx \,$ y $\, \int \frac{x}{x^2+x+1} \,\, dx \,$

¿Hay otra manera de integrar esta función o forma de terminar mis cálculos?

Answer 1

métodos sencillos, nota $$1=\dfrac{1}{2}(x^2+1)+\dfrac{1}{2}(1-x^2)$ $ % que $$\int\dfrac{1}{x^4+x^2+1}dx=\frac{1}{2}(I_{1}+I_{2})$$ $$I_{1}=\int\dfrac{x^2+1}{x^4+x^2+1}dx=\int\dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}+1}dx=\int\dfrac{d(x-\frac{1}{x})}{(x-1/x)^2+3}$$ y simaler $I_{2}$

Answer 2

El método anterior es una buena manera de solucionarlo, sin embargo creo que están tratando de resolver la pregunta equivocada, ya que su integral es muy complicado. Echa un vistazo a esto: http://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+1%2F%28x%5E4%2Bx%5E2%2B1%29

Answer 3

$$\int\frac{xdx}{x^2-x+1}=\int\frac{(x-\frac12)dx}{x^2-x+1}+\int\frac{\frac12dx}{(x-\frac12)^2+\frac34}$$. Supongo que sabes como solucionar eso. La otra mitad es muy similar.