Una explicación intuitiva de cómo la definición matemática de ergodicidad implica el laico ' interpretación s ' todos los microestados son igualmente probables '.

Question

Soy auto-estudio de la Mecánica Estadística; en ti tengo Postulado Fundamental de La Mecánica estadística y la que me llevó a ergodic hipótesis.

En la mayoría de los términos sencillos, que dice:

En un sistema aislado en equilibrio térmico, todos microstates son equi-probables y igualmente probable.

Sin embargo, pude llevar a cabo mi empresa en la Mecánica Estadística hasta ahora.

Últimamente, me llegó a través de la definición real de ergodicity, especialmente el de la Wikipedia:

[...] el término ergodic se utiliza para describir un sistema dinámico que, a grandes rasgos, tiene el mismo comportamiento promediado en el tiempo como promedio durante el espacio de todo el sistema de estados (el espacio de fase).

En estadística, el término describe un proceso aleatorio para que el tiempo promedio de una secuencia de eventos es el mismo que el promedio del conjunto.

Wikipedia escribe sobre ergodic hipótesis:

[...] durante largos períodos de tiempo, el tiempo empleado por un sistema en cierta región del espacio de fases de microstates con la misma energía es proporcional al volumen de esta región ...

También, como Arnold Neumaier escribió acerca de ergodic hipótesis:

[...] cada espacio de fase de la trayectoria viene arbitrariamente cerca de cada punto del espacio de fases con los mismos valores de todas las variables conservadas como el punto inicial de la trayectoria ....

Yo no podía conseguir esas definiciones matemáticas como aquellos que están más allá de mi nivel; todavía traté de conectar estas definiciones con el laico de uno, pero no podía hacerlo. Yo sé un poco de espacio de fase, conjuntos y nada más.

Agradecería si alguien explica de forma intuitiva cómo las definiciones que el tiempo promedio de una secuencia de eventos es el mismo que el promedio del conjunto y el tiempo empleado por un sistema en cierta región del espacio de fases de microstates con la misma energía es proporcional al volumen de esta región implica el laico de la interpretación de ergodic hipótesis.

Answer 1

La igualdad de el tiempo promedio y el espacio promedio esencialmente significa que cada trayectoria que viaja a través del espacio tan al azar que todo sucede como si se llega a todas partes y aún más pasa un tiempo en cada región proporcional al tamaño de la región.

Para ser un poco más precisos, tenemos que ir a las bases de ergodic theory.

Ergodic theory es esencialmente el estudio de los mapas y de los flujos de la preservación de una medida. Esto incluye el estudio de las propiedades estocásticas de las dinámicas, tales como ergodicity. Los orígenes se remontan a la mecánica estadística con un intento de aplicar la teoría de la probabilidad a los conservadores de los sistemas mecánicos (recordemos que cualquier Hamiltoniano del sistema se conserva la Liouville medida, y por lo tanto la relación natural para ergodic theory).

Boltzman ergodic hipótesis corresponde asumir que los típicos puntos en un dado nivel de energía tienen un tiempo promedio igual al espacio de media en que el nivel de energía (niveles de energía de los conservadores sistemas son invariantes por lo que no podemos escapar de ellos). Desde el punto de vista matemático, esto requiere de la noción de ergodocity, lo que simplemente significa que cualquier invariante conjunto de cero o de la medida total (decir Liouville medida).

En otro (en realidad más básica), la dirección, la existencia de un número finito de invariantes medida da lugar al concepto de cualitativa de la recurrencia de Poincaré (estrictamente hablando, esto no está relacionado con ergodicity). Por ello, aunque es cierto que casi "todo el espacio de fase de la trayectoria viene arbitrariamente cerca de cada punto del espacio de fases con los mismos valores de todas las variables conservadas como el punto inicial de la trayectoria", esta declaración no está relacionado con ergodicity.