¿Posible prueba de la Hipótesis de Riemann?

Question

En primer lugar, imagino que no será correcto, sólo por su sencillez, pero también me gustaría saber por qué, ya que no encuentro ningún error en él.

La "prueba" se basaría en la convicción de dos teoremas/fórmulas principales. El primero, sería este , debido a Nicolás, donde se afirma que RH se mantendría sif:

$$\frac{N_k}{\phi{(N_k)}} > e^{\gamma} \ln{(\ln{(N_k)})}$$

celebrada por cada $k$ ser $N_k$ el primor del orden $k$ y $\phi{(N_k)}$ su función Totiente de Euler.

Entonces, mi principal objetivo aquí será demostrar esa fórmula para cada $k$ . Para ello, utilizaré este otro teorema:

$$ \prod_{p \le n} \frac{p}{p-1} > e^{\gamma}(\ln{n})(1-\frac{1}{2(\ln{n})^{2}})$$

Tomado de "Fórmulas aproximadas para algunas funciones de números primos" ( enlace ), Teorema 8 (3.28).

Como, en este caso, $\frac{N_k}{\phi{(N_k)}} = \prod_{p \le p_k} \frac{p}{p-1}$ Podemos intentar ver si esto se mantiene:

$$e^{\gamma}(\ln{p_k})(1-\frac{1}{2(\ln{p_k})^{2}})>e^{\gamma} \ln{\ln{N_k}}$$

Por lo tanto,

$$\ln{p_k}-\frac{1}{2\ln{p_k}}>\ln{\ln{N_k}}$$

Para que sea más claro, podemos cambiar $\ln{N_k}$ por $\theta{(k)}$ (la primera función de Chebyshev) para que

$$\ln{p_k}-\frac{1}{2\ln{p_k}}>\ln{\theta{(k)}}$$

Desde allí, podríamos llegar fácilmente a

$$\frac{1}{2\ln{p_k}}<\ln{\frac{p_k}{\theta{(k)}}}$$

Y, con los límites de los teoremas 3 (3.12) y 4 (3.15), obtenemos

$$\frac{1}{2\ln{p_k}}<\ln{\frac{\ln{k}}{1+ \frac{1}{2\ln{k}}}}$$

Lo que sería cierto para cada k suficientemente grande, lo que significa que

$$\frac{N_k}{\phi{(N_k)}} > e^{\gamma} \ln{(\ln{(N_k)})}$$

sostiene, y, con ello, RH.

¿Es esto correcto? ¿Por qué podría/no podría probar el RH?

Gracias.

Editar gracias a Jyrki Lahtonen

Answer 1

Con $p_1, p_2, \ldots$ siendo una lista de primos en orden creciente tenemos $N_k = p_1 p_2 \cdots p_k$ para el primorial. Por lo tanto, $$\frac{N_k}{\phi(N_k)}=\prod_{p\le p_k}\frac{p}{p-1}.$$

Por lo tanto, el límite inferior es sólo $$ \frac{N_k}{\phi(N_k)} > e^\gamma \log p_k \left(1 - \frac1{2 \log^2 p_k}\right), $$ que no funciona para el argumento restante.