Es $m$ un proyectivo $A$ -¿Módulo?

Question

$A$ es un anillo local noetheriano y $m$ sea su ideal máximo. Entonces es $m$ un proyectivo $A$ -¿Módulo?

Me ha surgido este problema mientras resolvía otro problema. ¿Puede alguien ayudarme a resolverlo?

Answer 1

Sobre un anillo conmutativo local, los módulos proyectivos coinciden con los módulos libres, por lo que la pregunta es si $\mathfrak m$ es gratis.
Si es libre debe ser de rango uno, porque dos elementos de $a,b\in A$ son necesariamente $A$ -dependiente de la línea: $a\cdot b-b\cdot a=0$ (¡duh!)
La libertad de dimensión uno significa que para algunos $m\in \mathfrak m$ el $A$ -mapa lineal $A\to \mathfrak m:a\mapsto am$ es biyectiva. Por lo tanto, obtenemos:

Teorema:
El ideal máximo de un anillo local conmutativo es proyectivo si puede ser generado por un elemento que no sea un divisor de cero.

Un ejemplo importante:
Si $(A,\mathfrak m)$ es un local noetheriano dominio entonces $\mathfrak m$ es proyectiva si $A$ es un anillo de valoración discreta .

Answer 2

Depende del anillo. Por ejemplo, si $R=\mathbb{Z}_{(p)}$ es la localización de $\mathbb{Z}$ en el ideal primario $p$ entonces el ideal máximo es principal, por lo que es isomorfo como módulo al propio anillo, y por tanto proyectivo.

En caso de que el anillo sea $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ el ideal máximo no es proyectivo.

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Añadido del comentario.

Si su objetivo es debatir $\def\Tor{\operatorname{Tor}}\Tor^A_1(A/m,M)$ entonces la proyectividad de $m$ no está involucrado. Teniendo en cuenta cualquier $A$ -Módulo $M$ de la secuencia exacta $$ 0\to m\to A\to A/m\to0 $$ obtenemos el siguiente fragmento final de la secuencia exacta larga obtenida al aplicar $-\otimes_AM$ : $$ \Tor^A_1(A,M)\to\Tor^A_1(A/m)\to m\otimes_AM\to A\otimes_AM\to A/m\otimes_AM\to0 $$ Desde $A$ es proyectiva (por tanto, plana), $\Tor^A_1(A,M)=0$ por lo que podemos afirmar que

$\Tor^A_1(A/m,M)=0$ si y sólo si $m\otimes_AM\to A\otimes_AM$ es inyectiva.

Proyectividad del ideal máximo $m$ no está involucrado aquí y tampoco lo está el hecho de que $A$ es un anillo local. Esto es válido para cualquier anillo y cualquier (derecha) ideal $m$ de $A$ .

Por supuesto, si usted sabe por otros resultados que $m\otimes_AM\to A\otimes_AM$ es inyectiva en su caso específico, entonces tiene como consecuencia que $\Tor^A_1(A/m,M)=0$ .