La comprensión del teorema de que todas las normas son equivalentes en lo finito dimensional espacio vectorial

Question

(Edit: se ha Sustituido $||\cdot||_0$ $||\cdot||_1$ a aclarar.)

El siguiente es un resultado conocido en el análisis funcional:

Si el espacio vectorial $X$ es finito dimensionales, todas las normas son equivalentes.

Aquí es el estándar de prueba en el libro de texto. En primer lugar, elegir una norma para $X$, dicen $$\|x\|_1=\sum_{i=1}^n|\alpha_i|$$ donde $x=\sum_{i=1}^n\alpha_ix_i$, e $(x_i)_{i=1}^n$ es una base para $X$. A continuación, mostrar que cada norma para $X$ es equivalente a $\|\cdot\|_1$, es decir, $$c\|x\|\leq\|x\|_1\leq C\|x\|.$$ Para la primera desigualdad, uno puede fácilmente obtener un $c$ por el triángulo de la desigualdad de la norma. Para la segunda desigualdad, en lugar de construir $C$, la de Bolzano-Weierstrass teorema se aplica para la construcción de una contradicción.

La estrategia para probar la existencia de estas dos desigualdades son tan diferentes. Aquí está mi pregunta,

Puede uno probar este teorema, sin Bolzano-Weierstrass teorema?

ACTUALIZACIÓN:

Es el recíproco del teorema de verdad? En otras palabras, es la siguiente también es cierto: Si todas las normas para un espacio vectorial $X$ son equivalentes, a continuación, $X$ es de dimensión finita?

Answer 1

Para responder a la pregunta en la actualización:

Si $(X,\|\cdot\|)$ es una normativa espacio de dimensión infinita, se puede producir una no-lineal continua y funcional: Elija una expresión algebraica base $\{e_{i}\}_{i \in I}$ a las que se supone que ser normalizada, es decir, $\|e_{i}\| = 1$ todos los $i$. Todos los vectores $x \in X$ tiene una representación única $x = \sum_{i \in I} x_i \, e_i$ con sólo un número finito distinto de cero entradas (por la definición de una base).

Ahora elija una contables subconjunto $i_1,i_2, \ldots$$I$. A continuación, $\phi(x) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot x_{i_k}$ define un funcional lineal en $x$. Tenga en cuenta que $\phi$ no es continua, como $\frac{1}{\sqrt{k}} e_{i_k} \to 0$ mientras $\phi(\frac{1}{\sqrt{k}}e_{i_k}) = \sqrt{k} \to \infty$.

No puede haber un $C \gt 0$ de manera tal que la norma $\|x\|_{\phi} = \|x\| + |\phi(x)|$ satisface $\|x\|_\phi \leq C \|x\|$ ya que de lo contrario $\|\frac{1}{\sqrt{k}}e_k\| \to 0$ implicaría $|\phi(\frac{1}{\sqrt{k}}e_k)| \to 0$ contrario al párrafo anterior.

Esto demuestra que en un infinito-dimensional normativa espacio siempre hay no equivalentes normas. En otras palabras, a la inversa de preguntar acerca de es cierto.

Answer 2

Usted va a necesitar algo de esta naturaleza. Un Espacio de Banach es un completo normativa espacio lineal ($\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$). La equivalencia de las normas en un espacio de dimensión finita, en definitiva, a los hechos que la unidad de la bola de un Espacio de Banach es compacto si el espacio es finito-dimensional, y que continua con un valor real de las funciones compacto conjuntos de lograr su sup e inf. Es la de Bolzano Weirstrass teorema que da la primera propiedad.

De hecho, un Espacio de Banach es finito dimensionales si y sólo si su unidad de bola es compacto. Cosas como esta hacen ir mal para infinito-dimensional espacios. Por ejemplo, supongamos $\ell_1$ ser el espacio de la real secuencias que $\sum_{n=0}^{\infty} |a_n| < \infty$. A continuación, $\ell_1$ es un infinito dimensional Espacio de Banach con la norma $\|(a_n) \| = \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|.$ también admite otra norma $\|(a_n)\|' = \sqrt{ \sum_{n=0}^{\infty} |a_{n}|^2}$ , y esta norma no es equivalente a la primera.

Answer 3

Uno realmente no necesita un argumento diferente para cada lado de la desigualdad. Si $\vert\vert \cdot \vert\vert_1,\vert\vert \cdot \vert\vert_2$ son dos normas en un finito-dimensional espacio vectorial (sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$), entonces la restricción de $\vert\vert \cdot \vert\vert_1$ a la bola unidad cerrada de $\vert\vert \cdot \vert\vert_2$ es una función continua en un conjunto compacto (aquí el finito de dimensionalidad se utiliza) y es por lo tanto limitada de arriba por algunos $M > 0$. Positiva de la homogeneidad, se deduce que el $\vert\vert \cdot \vert\vert_1 \le M \vert\vert \cdot \vert\vert_2$. La conmutación de las funciones de $\vert\vert \cdot \vert\vert_1$$\vert\vert \cdot \vert\vert_2$, consigue $\vert\vert \cdot \vert\vert_2 \le m \vert\vert \cdot \vert\vert_1$, por lo tanto $\frac{1}{m} \vert\vert \cdot \vert\vert_2 \le \vert\vert \cdot \vert\vert_1$, para algunas de las $m>0$.

No tome este teorema demasiado en serio, aunque. Este tipo de relación de equivalencia entre las normas es muy débil y dos normativa espacios con $\mathbb{R}^n$ como subyacente espacio vectorial puede ser completamente diferente en cuanto a su geometría se refiere (por ejemplo, algunas normas vienen de un producto interior [por lo tanto satisfacer la agradable geométrica de la propiedad que llamamos la "ley del Paralelogramo"] y algunos no).