¿Cómo puede este resultado en la Termodinámica ser rigurosamente probado?

Question

En Fermi "Termodinámica" hay una prueba de la fórmula: $$W=\int _{V_1} ^{V_2} p\,\text dV,$$that is, the work done by the pressure of a gas that expands from a volume $V_1$ to a volume $V_2$ en la superficie que lo contiene es igual a la integral anterior. La prueba va como esto:

Considere un elemento de superficie $\text d \sigma $ y deje $\text d n$ ser su el desplazamiento en la dirección normal a la misma. El trabajo infinitesimal hecho en este elemento durante la expansión está dado por $$F_\asesino \text d n=p\,\text d\sigma \, \text d n.$$ Debido a que la presión que supone ser constante en todas partes, esto nos da:$$\text d W=p\int \text d \sigma \, \text d n.$$ On the other hand, the variation $\texto d V$ es dada por el superficie de la integral:$$\text d V=\int \text d \sigma \, \text d n$$ y así la fórmula.

Creo que no es unrespectful a Fermi llamar a esto una prueba falsa, al menos por el matemático del punto de vista. Me preguntaba ¿cómo se podría justificar rigurosamente todos los pasos, a partir de la definición habitual de trabajo:$$W=\int _{\mathbf r _1} ^{\mathbf r _2} \mathbf F\cdot \text d\mathbf r .$$ In particular, how could I make sense of the (very puzzling) formula $\texto d V=\int \text d \sigma \, \text d n$?

Este es uno de los millones de casos, en física elemental, donde se utiliza un infinitesimal de razonamiento para obtener un determinado resultado (donde no hay "formas diferenciales" u otras sofisticada tecnología implícita) y creo que sería interesante escuchar un matemático punto de vista.

Answer 1

Sé que esto no es realmente lo que el OP quería, pero a mí me $W = \int {\rm d}{\bf r \cdot F}$ es un mal punto de partida. Es un poco como un colegial diciendo Pitágoras teorema de es $a^2 + b^2 = c^2$ y olvidarse de los triángulos. Estoy seguro de que usted puede enfocar por definición sólo lo colector para aplicar la fórmula, pero la definición clásica de la termodinámica trabajo es más físico:

El trabajo se realiza por un sistema en el entorno si el único efecto sobre el entorno podría haber sido levantar un peso.

Creo que mi universidad en el libro de texto era mucho más pedante. En particular, habría tomado el cuidado de peso cayendo así. Pero voy a dejar que como un ejercicio.

Así que aquí está mi prueba de $\Delta W = P\Delta V$, para cualquier constante presión de proceso (convertir este en $dW = PdV$ es realmente acerca de las matemáticas). Ir a la física teórica de laboratorio (lugar de los experimentos de pensamiento) y:

• Coloque el sistema de interés dentro de una bañera llena de un fluido incompresible de insignificante densidad.
• Sello de la que el baño con un pistón de peso $mg$, tienen un vacío por encima del pistón.
• Permitir que cualquier proceso termodinámico que se produzcan en el sistema, y observar el cambio en la altura de $\Delta y$ del pistón/peso después de que se ha llegado al descanso.

prueba: Si $\Delta y >0$, entonces por la definición anterior, el sistema ha realizado un trabajo $W = mg\Delta y$. Por la ley de Pascal, la presión del líquido sobre el pistón es el mismo que $P$ para el sistema bajo prueba. Puesto que el fluido es incompresible, el cambio de volumen en el sistema de $\Delta V$ es también el cambio de volumen en todo el baño. Pero si el pistón del área de es$A$,$\Delta V = A\Delta Y$. Pero la hidrodinámica de la fuerza sobre el pistón de balance de gravedad, por lo $PA = mg$. Por lo tanto,$P\Delta V = mg\Delta Y = W$.

Me gusta pensar que la prueba es aún más agravante a la del matemático de Fermi "falso" de la prueba. Pero lo que me interesa es que probablemente entierra $W = \int {\rm d}{\bf r \cdot F}$ debajo de la física de la asunción. Mi conjetura es que es en la ley de Pascal. Pero entonces usted necesita la ley de Pascal para hacer sentido de la fórmula en el primer lugar.

Answer 2

De hecho, $\vec{F}$ $\large\left(~\mbox{due to the pressure}~\right)$ es perpendicular a la superficie. Que define la presión de $P$ según $\vec{F} \equiv P\,{\rm d}\vec{S}$. $P$ siempre es un escalar. Además, el desplazamiento de la ${\rm d}\vec{r}$ es paralelo a ${\rm d}\vec{S}$. A continuación, $$ \vec{F}\cdot{\rm d}\vec{r} = P\,{\rm d}\vec{S}\cdot{\rm d}\vec{r} = P\ \overbrace{\quad% \left\vert{\rm d}\vec{S}\right\vert \cdot \left\vert{\rm d}\vec{r}\right\vert\cos\left(0\right)\quad} ^{\displaystyle{{\rm d}V}} = P\,{\rm d}V $$ El resultado es engañoso ya que $P\,{\rm d}V$ es evaluado en la superficie y $P\,{\rm d}V$ no es una diferencial exacta.

Siempre que $\vec{F}$ no es paralelo a ${\rm d}\vec{S}$ es debido a otras contribuciones, como la viscosidad, que se añade a la contribución de la presión. En cualquier caso, $P$ permanece como un escalar. Por el camino, $\eta\nabla^{2}\vec{v}$ es la fuerza por unidad de volumen debido a la viscosidad. $\eta > 0$: Coeficiente de viscosidad. $\vec{v}$: Velocidad del fluido.