Caso especial del teorema de reordenación de Riemann

Question

Dejemos que $\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}$ sea un reordenamiento de una serie condicionalmente convergente $\sum_{k=1}^\infty a_k$ . Demostrar que si $\{\varphi(k)-k\}$ es una secuencia acotada, entonces $\sum_{k=1}^\infty a_{\varphi(k)}=\sum_{k=1}^\infty a_k$ .

No encuentro la solución en ningún sitio y no consigo averiguarlo. Gracias por su ayuda. Mi entendimiento del problema es que si limitamos el "espacio" entre la diferencia de términos entonces no necesitamos llegar a una asíntota para encontrar el término $a_{\varphi(k)}$ que crea el mismo efecto que si se tratara de sumas finitas.

Answer 1

Supongamos que $$ \sum_{k=1}^\infty a_k = L, $$ y supongamos $\phi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ es tal que hay un $N$ para lo cual $\lvert \phi(k)-k \rvert \leq N$ para todos $k \in \mathbb{N}$ . Sea $$S_n = \sum_{k=1}^n a_k$$ y $$S'_n = \sum_{k=1}^n a_{\phi(k)}. $$ Ahora considere $$ S'_{n+N} - S_n = \sum_{k=1}^{n+N} a_{\phi(k)} - \sum_{k=1}^n a_k. $$ Si $n$ es mucho mayor que $N$ , entonces todos los términos $a_1$ , $a_2$ , , $a_{n}$ aparecen en $a_{\phi(1)}$ , $a_{\phi(2)}$ , , $a_{\phi(n+N)}$ , porque $N-k \leq \phi(k) \leq N+k$ . Sea $$A_n=\{\phi(1), \phi(2), \ldots, \phi(n+N) \} \setminus \{1, 2, \ldots, n\} $$ sea el conjunto de todos los índices de los términos de $S'_{n+N}$ que no surgen de esta manera. Tenemos $$A_n \subseteq \{n, n+1, \ldots, n+N\}.$$ Ahora tenemos $$S'_{n+N} - S_n = \sum_{k=1}^{n+N} a_{\phi(k)} - \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{i \in A_n} a_i,$$ o en otras palabras $$S'_{n+N} = \sum_{i \in A_n} a_i + S_n.$$ Por definición, $$\lim_{n \to \infty} S_n = L,$$ mientras que como la serie converge $$\lim_{n \to \infty} \sum_{i \in A_n} a_i = 0. $$ Por lo tanto, $$\lim_{n \to \infty} S'_{n+N} = L.$$ Así, $$ \sum_{k=1}^\infty a_{\phi(k)} = L, $$ como se desee.

Answer 2

Arreglar $\varepsilon>0$ . Entonces existe $k_0$ tal que para todo $N,M>k_0$ $$\tag{1} \left|\sum_{k=N+1}^M a_k\right|<\varepsilon. $$ Por hipótesis, existe $K$ con $|\varphi(k)-k|<K$ para todos $k$ . Así que para todos $k=1,\ldots,k_0$ , $\varphi(k)\in\{1,\ldots,k_0+K\}$ . En otras palabras, el conjunto $\{\varphi(1),\ldots,\varphi(k_0+K)\}$ contiene todos los $1,\ldots,k$ . Entonces $$ \left|\sum_{k=1}^{k_0+K}a_{\varphi(k)}-a_k\right|\leq\left|\sum_{k:\varphi(k)>k_0}a_{\varphi(k)}\right|<\varepsilon, $$ ya que la última suma es como en $(1)$ .