Encontrar la fracción $\frac{a^5+b^5+c^5+d^5}{a^6+b^6+c^6+d^6}$ a la hora de saber las sumas $a+b+c+d$ $a^4+b^4+c^4+d^4$

Question

¿Cómo puedo resolver esta cuestión con encontrar a,b,c,d

$$a+b+c+d=2$$

$$a^2+b^2+c^2+d^2=30$$

$$a^3+b^3+c^3+d^3=44$$

$$a^4+b^4+c^4+d^4=354$$

así : $$\frac{a^5+b^5+c^5+d^5}{a^6+b^6+c^6+d^6}=?$$

Si el qusetion imposible resolver withot encontrar a,b,c,d, ¿hay alguna forma más sencilla de encontrar a,b,c,d

Hay alguna ayuda?

Answer 1

Una forma de acercarse a estas preguntas es para ver $a, b, c, d$ como raíces de una sola ecuación de cuarto grado $x^4-s_1x^3+s_2x^2-s_3x+s_4=0$, cuando tenemos Vieta las relaciones de $$s_1=a+b+c+d$$ $$s_2=ab+ac+ad+bc+bd+cd=(a+b)(c+d)+ab+ab + cd$$ $$s_3=abc+abd+acd+bcd$$ $$s_4=abcd$$

Luego nos vamos a $p_k=a^k+b^k+c^k+d^k$ con: $$p_0=4$$ $$p_1-s_1=0$$ $$p_2-p_1s_1+2s_2=0$$ $$p_3-p_2s_1+p_1s_2-3s_3=0$$

Con los valores dados de $p_1, p_2, p_3$ estos determinan $s_1, s_2, s_3$.

Para potencias superiores a $(k\ge4)$ hemos $$a^k-s_1a^{k-1}+s_2a^{k-2}-s_3a^{k-3}+s_4a^{k-4}=0$$ using the quartic equation. Adding together the corresponding equations for $a , b, c, d$ we obtain the recurrence for $p_k$ $$p_k-s_1p_{k-1}+s_2p_{k-2}-s_3p_{k-3}+s_4p_{k-4}=0$$

Ya sabemos $p_4$ podemos utilizar la repetición para encontrar $s_4$, y esto es suficiente para calcular los $p_5, p_6$ a partir de la recurrencia.

Si esto parece complicado, esto es engañoso. Las relaciones entre las escuelas primarias simétrica funciones de $s_r$ y las sumas de las potencias $p_r$ son de utilidad para conocer y procesar este tipo de problema esencialmente mecánico. Se puede ver que se puede resolver el problema sin resolver explícitamente para $a, b, c, d$.

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Siguiendo este esquema encontramos sucesivamente $s_1=2, s_2=-13, s_3=-14, s_4=24$. A continuación, la recurrencia da: $$p_5-2p_4-13p_3+14p_2+24p_1=0$$ and $$p_6-2p_5-13p_4+14p_3+24p_2=0$$

Y esto da $p_5=812, p_6=4890$

Answer 2

He aquí un enfoque que implica AM-GM de la desigualdad(A obligado a los números).

He considerado a los positivos valores de $(a,b,c,d)$. Puedo considerar $a^2,b^2,c^2$$d^2$, ya que todos ellos son estrictamente positivos.

$\dfrac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4} \ge \sqrt{abcd}$

$\dfrac{30}{4} \ge \sqrt{abcd} \implies 56.25 \ge abcd$

Desde $a^2+b^2+c^2+d^2=30$$56 >|abcd|$, Una de las $|a|,|b|,|c|,|d|$ es en la mayoría de las $5$.

Considerando $a^4+b^4+c^4+d^4$, una de las $|a|,|b|,|c|,|d|$ es atmost $4$, ya que el $5^4=625$ .

Ahora tenemos $a^2+b^2+c^2+d^2=30$, el valor de $(|a|,|b|,|c|,|d|)$ es de $(1,2,3,4)$.

Y también:

Considerando $4th$ grado del polinomio tal que $a,b,c,d$ son las raíces de la ecuación.

$x^4+px^3+qx^2+rx+s=0$

$a+b+c+d=2=-p$

$(a+b+c+d)^2-a^2+b^2+c^2+d^2=2(ab+bc+cd+ad+ac+bd)=q=-13$

Búsqueda de $\sum abc$ $abcd$ con la ayuda de otras desigualdades y la búsqueda de las raíces de la ecuación es otra manera de ir. (No muy seguro de si la construcción de polinomio es una gran manera de ir. )

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Edit: he considerado que los valores absolutos de $(a,b,c,d)$ . Yo no asumir a ser $+ve$.

Answer 3

No sé cómo resolverlo, sino $a=-3,b=4,c=2,d=-1$

Answer 4

Si usted inspeccione el sistema se puede ver que las soluciones para a,b,c,d son todos vamos a tener que ser enteros pequeños. Esto restringe las posibilidades del sistema en gran medida. Me las arreglé para resolver el sistema de adivinación de algunos números pequeños, ponerlos a prueba y el ajuste de signos menos para obtener el resultado deseado. Después de que hemos encontrado a,b,c,d de la fracción se convierte en trivial.

Cualquier método analítico para la resolución de este sistema tendría que acomodar de alto orden y soluciones inevitablemente iba a ser muy complicado. Me gustaría ver a la solución analítica, pero la duda cualquiera podría ser tan eficiente como el de prueba y error en este caso.