¿Hay valores propios complejos en una matriz dada?

Question

Si una matriz es hermética, sus valores propios son todos reales. Pero dada cualquier real matriz que es no es hermético ¿Cómo determinar si hay valores propios complejos o no?

O la pregunta puede reformularse de esta manera: en lugar de la Hermitiana, ¿existen reglas más generales que puedan utilizarse para determinar si los valores propios de una matriz son todos números reales?

EDITAR: Se me ocurre otra solución para esto (es sólo una forma indirecta comparada con la matriz hermitiana):

Si una matriz es similar a una matriz hermitiana, entonces sus valores propios son todos reales.

Answer 1

Entender los problemas de valores propios para matrices generales es tan difícil como resolver ecuaciones polinómicas generales, como se ve en las matrices de la forma $$A_n=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 &\cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 1 \\-a_0 & -a_1 & -a_2 & \cdots & -a_{n-1} \end{bmatrix}, $$ cuyo polinomio característico es $\lambda^n+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\dots+a_1 \lambda+a_0$ . Se puede obtener cierta información sobre la "realidad" de las raíces a través del discriminante .