Pregunta sobre la métrica de Teichmuller como mínimo de las dilataciones

Question

Estoy aprendiendo la teoría de Teichmuller con el libro "Primer on Mapping class group". Hay algo que no puedo entender, espero que alguien pueda aclararlo.

Dejemos que $\mathcal{T}_g$ sea el espacio de Teichmuller de las superficies de Riemann cerradas de género $g\ge 2$ .
Los autores dicen que, dadas dos superficies de Riemann marcadas $(X_1,f_1:S_g\rightarrow X_1),(X_2,f_2:S_g\rightarrow X_2)\in \mathcal{T}_g$ su distancia de Teichmuller (que escribo como $d_{\mathcal{T}}(X_1,X_2)$ ) se define como el ínfimo de las dilataciones de los mapas cuasi-conformes homotópicos al cambio de marcas $f_2\circ f_1^{-1}:X_1\rightarrow X_2$ . Este hecho sugiere que la dilatación de los mapas cuasi-conformes debe calcularse en las coordenadas de los atlas conformes de $X_1$ y $X_2$ . Entonces, por los dos teoremas de Teichmuller (existencia y unicidad del mapa de Teichmuller) obtenemos que este infimo se realiza por el mapa de Teichmuller entre $X_1$ y $X_2$ . La demostración del teorema de unicidad de Teichmuller se basa en el hecho de que el mapa de Teichmuller es afín en las coordenadas naturales de algunas diferenciales cuadráticas $q_1$ (en $X_1$ ) y $q_2$ (en $X_2$ ) y que su factor de estiramiento horizontal es $\sqrt{K}$ y su factor de estiramiento vertical es $1/\sqrt{K}$ ( $K>1$ ) y por tanto la dilatación es $K$ .

Así que conseguimos que $d_{\mathcal{T}}(X_1,X_2)$ es igual a la dilatación del mapa de Teichmuller (para las diferenciales cuadráticas $q_1$ y $q_2$ ) calculado en las coordenadas naturales de $q_1$ y $q_2$ .

Esta es mi pregunta: ¿Por qué la dilatación del mapa de Teichmuller se calcula en las coordenadas naturales de $q_1$ y $q_2$ y no en las coordenadas de los atlas conformes de $X_1$ y $X_2$ ? ¿Es lo mismo? Si es así, ¿por qué?

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $K$ denota el coeficiente de cuasiconformidad para los mapas entre dominios en el plano complejo; satisface la siguiente desigualdad general: $$ K(f\circ g)\le K(f) K(g). $$ Además, un homeomorfismo $f$ es conforme si y sólo si $K(f)=1$ . De ello se desprende que si $f$ es conforme entonces $K(f\circ g)\le K(g)$ para cualquier $g$ . Al componer con $f^{-1}$ concluimos que $K(f\circ g)=K(g)$ para cada conformación $f$ y cuasiconforme $g$ . Lo mismo funciona para las precomposiciones con mapas conformes. De esto se concluye que para cualquier mapa $f: X\to Y$ entre superficies de Riemann, el coeficiente de cuasiconformidad de $\varphi\circ f\circ \psi^{-1}$ es independiente de la elección de las cartas conformes $\varphi, \psi$ en $X$ y $Y$ . Este personal será cubierto en cualquier libro sobre la teoría de Teichmuller.