Sea$(a_n)$ una secuencia convergente en los números reales. ¿Cómo puedo probar que$\lim {a_n}$ es un número real?
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Paul Sinclair
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Todas las respuestas hasta ahora suponga que usted está preguntando "¿cómo se puede demostrar que el límite es real, en lugar de ser complejo". Pero la respuesta realmente depende de cómo se define la "converge". Y esto puede variar.
Si usted está buscando sólo en la definición de convergencia en los números reales, entonces $\{a_i\}$ converge a un número real, porque la definición no permite otra cosa, como Mauro ALLEGRANZA ha señalado.
Si usted es de hecho el pensamiento de los números complejos, entonces estás hablando de convergencia en los números complejos, no los números reales, de modo que la definición permite ahora a los resultados complejos. Pero tenga en cuenta que cualquier número complejo a $z = a + bi$ se encuentra a una distancia de $b$ desde la línea real. Si $b > 0$, e $x$ es cualquier número real, sabemos que $|x - z| \ge b$. En particular, sabemos que $|a_i - z| > b$ todos los $i$, y por lo $z$ no puede ser un límite de $\{a_i\}$.
Pero hay otras series que $\Bbb R$ se encuentra en el interior, y si tenemos en cuenta la definición de convergencia en los conjuntos, no siempre es cierto que el límite de una secuencia de números reales será un número real. Un ejemplo sencillo es $\Bbb R^*$, el conjunto de Extendido de los Números Reales, que es sólo $\Bbb R \cup \{-\infty, \infty\}$. En este espacio, la verdadera secuencia $a_n = n$ converge a $\infty$, que no es real.
Yves Daoust
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S. van Nigtevecht
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Supongamos que una secuencia$(a_n)$ tiene un límite$z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}$. Entonces, existe un$\varepsilon > 0$ tal que para todo$x \in \mathbb{C}$:$$ |z-x| < \varepsilon \implies x \notin \mathbb{R}.$ $ Por ejemplo, con$z = a +bi$, tome$\varepsilon := |b|$. Por lo tanto, para algunos$N$, tenemos que para todos$n > N$,$a_n \notin \mathbb{R}$, en contradicción con nuestra hipótesis.
rlpowell
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Si$a_n\to a$, entonces$\overline{a_n}\to\overline{a}$, así que si$\overline{a_n}=a_n$, entonces$\overline{a}=a$.
Para elaborar un poco sobre la primera implicación,$|\overline{z}|=|z|$ para todos los números complejos, por lo que$|\overline{a_n}-\overline{a}|=|\overline{a_n-a}|=|a_n-a|$. Además,$z\in\mathbb{R}$ si y sólo si$\overline{z}=z$.
matt_t_gregg
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Empecé a pensar que una de las definiciones de $ \mathbb R $ como la realización de los racionales $ \mathbb Q $?
(es decir, $ \mathbb R $ es la unión de $ \mathbb Q $ con respecto a los límites de todos los convergente subsecuencias de $ \mathbb Q $)
En el que caso de que la respuesta es verdadera por definición?
Sin embargo, eso no necesariamente - se necesita un paso más que el límite de una convergente larga en $ \mathbb R $ es también el límite de una convergente larga en $ \mathbb Q $.
No creo que esto es demasiado difícil para mostrar sin embargo (algo más o menos a lo largo de las líneas de, dada una secuencia $S$$ \mathbb R $, para cualquier $ \delta$, usted puede encontrar los valores en $\mathbb Q$ dentro de la distancia $\delta$ de los elementos de $S$, por lo tanto usted puede encontrar una secuencia $S'$ $\mathbb Q$ que converge al mismo límite de $S$), pero la diversión a través de trabajar formalmente.
(No hay necesidad de preocuparse acerca de los números complejos. :-) )
