Deje $|X|$ denota la cardinalidad de un conjunto $X$, vamos a $\mathbb N$ el conjunto de números enteros no negativos, vamos a $a$ ser un cardenal $> 2^{|\mathbb N|}$, vamos a $C$ el conjunto de los cardenales $\le a$, vamos a $\Omega$ el conjunto de los números ordinales de cardinalidad $\le a$, vamos a $\mathcal P(\mathbb N)$ el conjunto de los subconjuntos de a $\mathbb N$ parcialmente ordenado por la inclusión, la deje $\mathcal T$ ser el conjunto totalmente ordenado subconjuntos de a $\mathcal P(\mathbb N)$, vamos a $\mathcal W$ el conjunto de ordenadas de subconjuntos de a $\mathcal P(\mathbb N)$, vamos a $t:\mathcal T\to C$ ser el mapa de $T\mapsto|T|$, vamos a $w:\mathcal W\to\Omega$ ser el mapa enviar a $W$ a su correspondiente ordinal, definir el cardenal $t_0$ por $$ t_0:=\sup\ \{t(T)\ |\ T\in\mathcal T\}, $$ y definir el ordinal $w_0$ por $$ w_0:=\sup\ \{w(W)\ |\ W\in\mathcal W\}. $$ Se puede calcular $t_0$$w_0$?
Respuestas
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Permítanme reformular la pregunta un poco, pues creo que como está escrito es un poco más difícil de analizar que es necesario:
Como lo hemos definido, el mapa de $t$ sólo envía una cadena en $2^\mathbb{N}$ a su cardinalidad; no hay necesidad de referirse a $a$ a todos. Por lo $t_0$ es el supremum de las cardinalidades de las cadenas en $2^\mathbb{N}$. Del mismo modo, $w_0$ es el supremum de la ordertypes de bien fundado de las cadenas.
Vamos a pensar acerca de $t_0$ primera. Claramente $t_0$ es en la mayoría de las $\mathfrak{c}$ (= la cardinalidad de a $\mathbb{R}$); de hecho, este límite superior de la agudo - $t_0=\mathfrak{c}$ - y es, de hecho, logró, por lo que es un máximo, y no sólo una supremum.
Para mostrar esto sólo tenemos que encontrar una sola cadena de cardinalidad $\mathfrak{c}$. La idea aquí es el uso de Dedekind cortes. Fijar un bijection $f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}$, y para una real $r$ deje $S_r=\{f^{-1}(q): q\le r\}$. A continuación, la colección de $\{S_r: r\in\mathbb{R}\}$ es una cadena de tamaño continuo.
Bien, ahora pasemos a $w_0$. Supongamos que tengo una bien ordenada de la cadena de ordertype $\theta$, $S=\{X_\eta: \eta<\theta\}$ con $X_\eta\subseteq X_\zeta$ fib $\eta\le\zeta$. Por simplicidad supongamos $\theta$ es un ordinal límite; esto será lo suficientemente bueno. A continuación, para cada una de las $\eta<\theta$, hay algunos $n\in\mathbb{N}$$X_{\eta+1}\setminus X_\eta$; deje $n_\eta$ denotar al menos dicho número natural. Dado que sólo hay countably muchos números naturales, esto significa que $\theta<\omega_1$.
Esto nos dice $w_0\le\omega_1$. También nos dice que $\omega_1$ no puede ser alcanzado, por lo que si queremos mostrar a $w_0=\omega_1$ tendremos que trabajar un poco más difícil: la fijación de $\theta<\omega_1$ necesitaremos para construir una bien ordenada de la cadena de ordertype $\theta$.
Pero esto es sencillo: es un ejercicio que cada contables de orden lineal incrusta en $\mathbb{Q}$ en una orden de preservación de la forma. Deje $f$ ser como el anterior, fijar un orden de preservación de la $h: \theta\rightarrow \mathbb{Q}$, y deje $X_\eta=\{f^{-1}(q): q\le h(\eta)\}$. A continuación, $S=\{X_\eta: \eta<\theta\}$ es bien ordenado de la cadena de ordertype $\theta$.
Primera nota de que $t_0$ tiene un evidente límite superior, la cardinalidad de a $\mathcal P(\Bbb N)$, que pasa a ser $2^{\aleph_0}$. Pero también sabemos que hay una cadena en $\mathcal P(\Bbb N)$ que es isomorfo a los números reales, por lo que este límite superior se obtiene, y por lo tanto $t_0$ es exactamente $2^{\aleph_0}$.
Para $w_0$, ten en cuenta que cada conjunto parcialmente ordenado incrusta en su juego de poder (con la inclusión), y dos conjuntos de poder son isomorfos (como conjuntos ordenados) si y sólo si el subyacente conjuntos tienen la misma cardinalidad. Esto le da una rápida prueba de que cada contables ordinal incrusta en $\mathcal P(\Bbb N)$. Por lo $w_0\geq\omega_1$.
Pero, si $W$ es bien ordenado de la cadena, denotando por $A'$ el sucesor de $A$ dentro $W$ nos da una inyección de $A\mapsto\min A'\setminus A$ $W$ en los números naturales (esto puede requerir ajustes menores para un elemento maximal de a $W$, pero eso no importa en general). Lo que significa que ningún miembro de $\mathcal W$ es incontable. Por lo tanto,$w_0=\omega_1$, la primera de innumerables ordinal.
Dos observaciones:
Sus definiciones son engorrosos. Usted puede simplemente hablar acerca de los cardenales o los números ordinales. No hay necesidad de elegir a $a$ $C$ $\Omega$ y todo eso.
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Si ya sabes que cada contables ordinal incrusta en los números reales, entonces el argumento de $t_0=2^{\aleph_0}$ ya tiene que cada contables ordinal incrusta en $\mathcal P(\Bbb N)$. Hay otros similares, los métodos que pueden ser más fáciles dependiendo de su conocimiento previo.
O tal vez un enfoque directo, que podría ser más clara. Es todo lo mismo, de verdad.
