¿Cuáles son los campos finitos para los que -1 no es un cuadrado?

Question

¿Cuáles son los campos finitos para los que $-1$ ¿no es un cuadrado? Por supuesto que son de la forma $\mathbb{F}_q$ con $q=p^r$ , donde $p$ primo, tal que $p \neq 2$ y $p \equiv 3\pmod 4$ . Esto lo recuerdo de mis viejos cursos de álgebra. Pero para qué valores de $r$ es $-1$ ¿no es un cuadrado? Por ejemplo, si $r=2$ , entonces al adosar una raíz de $-1$ a $\mathbb{F}_p$ obtenemos un campo isomorfo a $\mathbb{F}_{p^2}$ que contiene una raíz cuadrada de menos $1$ . Así que $r \neq 2$ también. Probablemente pueda descartar más casos de esta manera, pero, ¿cuál es la respuesta general, por favor?

Answer 1

Una raíz cuadrada de $-1$ es un elemento de orden $4$ en el grupo de unidades, $\mathbb{F}_q^*$ . ¿Qué sabes de este grupo, cuántos elementos contiene, qué estructura tiene? Esto le permitirá responder entonces exactamente hay un elemento $i$ de orden $4$ . Una vez que tengas eso, será fácil mostrar $i^2 = -1$ como se ha reclamado.

Observación: No hay que olvidarse del complicado caso de $p=2$ . Aquí, $-1=1 = 1^2$ ...

Answer 2

Este campo debe no contienen $\mathbf F_{p^2}$ . Por lo tanto, es necesariamente un campo $\mathbf F_{p^r}$ con $r$ impar (y $p\equiv 3\mod 4$ ), ya que $\mathbf F_{p^r}\subset\mathbf F_{p^s}$ si y sólo si $r\mid s$ .

Answer 3

Sí Tienes razón.

Así es como se puede probar para $q=p$ de primera.

Consideremos el morfismo $x\mapsto x^2\in \mathbb F_p$ pour $p\ne 2$ considerando su núcleo, se puede demostrar que hay

$$\frac{p-1}2$$

cuadrados en $\mathbb F_p^*$ .

Entonces definamos

$$X:=\{x\in \mathbb F_p^*,\ x^{(p-1)/2}=1\}.$$

Puedes demostrar que todas las casillas están en $X$ y como $\mathbb F_p$ es un campo, $\vert X\vert \leqslant \frac {p-1}2$ .

Así que $X$ contienen todos los cuadrados no nulos.

Y tú lo has hecho:

$$-1\in X\iff \frac{p-1}2\equiv 0\pmod 4\iff p\equiv 1\pmod 4.$$