Calcular la integral de la $\log(\sin x)$

Question

Cómo calcular la siguiente integral? $$\int\log(\sin x)\,dx$$

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Motivación: Desde $\log(\sin x)'=\cot x$, la antiderivada $\int\log(\sin x)\,dx$ tiene la propiedad de nice $F''(x)=\cot x$. Podemos encontrar $F$ explícitamente? En su defecto, podemos encontrar la integral definida a través de uno de los intervalos donde $\log (\sin x)$ está definido?

Answer 1

Usted puede calcular $$ \int_0^\pi\log(\sin x)\,dx = -\pi\log2 $$ y la integración de hasta el $\pi/2$ daría la mitad de este.

Tenga en cuenta que la integración de $\log(\sin x)$ de 0 a $\pi/2$ es la misma como la integración de la $\log(\cos x)$, de modo que $$ \begin{align} \int_0^{\pi/2}\log(\sin x)\,dx &= \frac12\int_0^{\pi/2}\log(\sin x\cos x)\,dx\\ &= \frac12\int_0^{\pi/2}\log(\sin 2x)\,dx - \frac{\pi}{4}\log 2. \end{align} $$ Después de un cambio de variables, esto se puede reordenar para obtener el resultado.

Answer 2

Expansión de la serie puede ser usado para esta integral también.
Utilizamos la siguiente identidad; $$\log(\sin x)=-\log 2-\sum_{k\geq 1}\frac{\cos(2kx)}{k} \phantom{a} (0<x<\pi)$$ Esta identidad se da $$\int_{a}^{b} \log(\sin x)dx=-(b-a)\log 2-\sum_{k\ge 1}\frac{\sin(2kb)-\sin(2ka)}{2k^2}$$ ($a, b<\pi$)
Por ejemplo, $$\int_{0}^{\pi/4}\log(\sin x)dx=-\frac{\pi}{4}\log 2-\sum_{k\ge 1}\frac{\sin(\pi k/2)}{2k^2}=-\frac{\pi}{4}\log 2-\frac{1}{2}K$$ $$\int_{0}^{\pi/2} \log(\sin x)dx=-\frac{\pi}{2}\log 2$$ $$\int_{0}^{\pi}\log(\sin x)dx=-\pi \log 2$$ ($K$; Del catalán constante ... $\displaystyle K=\sum_{k\ge 1}\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)^2}$)

Answer 3

Una excelente discusión de este tema se puede encontrar en el libro de La Función Gamma por James Bonnar. Considerar sólo dos de los que probablemente se encuentre definiciones equivalentes de la función Beta: $$ \begin{eqnarray} B(x,y)&=& 2\int_0^{\pi/2}\sin(t)^{2x-1}\cos(t)^{2y-1}\,dt\\ &=& \frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}. \end{eqnarray} $$

Directamente a partir de esta definición tenemos

$$ B(n+\frac{1}{2},\frac{1}{2}): \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}(x)\,dx=\frac{\sqrt{\pi} \cdot\Gamma(n+1/2)}{2(n!)} $$ $$ B(n+1,\frac{1}{2}): \int_0^{\pi/2}\sin^{2n+1}(x)\,dx=\frac{\sqrt{\pi} \cdot n!}{2 \Gamma(n+3/2)} $$ Por lo tanto el cociente de estas dos integrales es $$ \begin{eqnarray} \frac{ \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}(x)\,dx}{\int_0^{\pi/2}\sin^{2n+1}(x)\,dx}&=& \frac{\Gamma(n+1/2)}{n!}\frac{\Gamma(n+3/2)}{n!}\\ &=& \frac{2n+1}{2n}\frac{2n-1}{2n}\frac{2n-1}{2n-2}\cdots\frac{3}{4}\frac{3}{2}\frac{1}{2}\frac{\pi}{2} \end{eqnarray} $$ donde el quantitiy $\pi/2$ proviene del hecho de que $$ \frac{\int_0^{\pi/2}\sin^{2\cdot 0}(x)\,dx}{\int_0^{\pi/2}\sin^{2\cdot 0+1}x\,dx}=\frac{\pi/2}{1}=\frac{\pi}{2}. $$ Así que tenemos que $$ \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}(x)\,dx=\frac{2n-1}{2n}\frac{2n-3}{2n-2}\cdots\frac{1}{2}\frac{\pi}{2}=\frac{(2n)!}{4^n (n!)^2}\frac{\pi}{2}. $$ Por lo tanto una continuación analítica de $\int_0^{\pi/2}\sin^{2n}(x)\,dx $ es $$ \int_0^{\pi/2}\sin^{2z}(x)\,dx=\frac{\pi}{2}\frac{\Gamma(2z+1)}{4^z \Gamma^2(z+1)}=\frac{\pi}{2}\Gamma(2z+1)4^{z}\Gamma^{-2}(z+1). $$ Ahora diferenciar ambos lados con respecto a $z$ que los rendimientos de

$$ \begin{eqnarray} 2\int_0^{\pi/2}\sin^{2z}(x)\log(\sin(x))\,dx =\frac{\pi}{2} \{2\Gamma'(2z+1)4^{-z}\Gamma^{-2}(z+1)\\ +2\Gamma(2z+1)4^{-z}\Gamma^{-3}(z+1)\Gamma'(z+1)\\ -\log(4)\Gamma(2z+1)4^{-z}\Gamma^{-2}(z+1)\}. \end{eqnarray} $$

Por último set $z=0$ y tenga en cuenta que $\Gamma'(1)=-\gamma$ a completar la integración: $$ \begin{eqnarray} 2\int_0^{\pi/2}\log(\sin(x))\,dx&=&\frac{\pi}{2}(-2\gamma+2\gamma-\log(4))\\ &=& -\frac{\pi}{2}\log(4)=-\pi\log(2). \end{eqnarray} $$ Llegamos a la conclusión de que $$ \int_0^{\pi/2}\log(\sin(x))\,dx=-\frac{\pi}{2}\log(2). $$

Answer 4

Creo que vale la pena mencionar la historia de (esencialmente) esta función, que se remontan al trabajo de Lobachevsky en los inicios de la geometría no Euclidiana. Ver el pdf aquí para Milnor de la encuesta, la función se discuten a partir de la página 9 en adelante.