Espacios tangentes de SO(3)

Question

Mi especialidad es la ingeniería mecánica. Recientemente, estoy leyendo un artículo acerca de la tangente espacios de rotación del grupo SO(3). La siguiente es una parte de ella.

Las notaciones utilizadas en la figura son: $\mathbf I $ 3$\times$3 matriz de identidad, $\mathbf R=exp(\widetilde{\psi}) $ es una rotación arbitraria tensor en SO(3), y $\widetilde{\psi}$ $\widetilde{\theta}$ representan los asociados skew-simétrica tensores para los vectores $\psi$$\theta$, respectivamente.

De acuerdo a este documento, existen dos definiciones para la tangente espacios de SO(3), dada por Makinen y Simo et al. respectivamente.

Aquí están mis preguntas:

1) Que la definición es más precisa y por qué?

2) Es un elemento $\widetilde{\theta}_{R}$ de cualquier espacio de la tangente $T_{R}SO(3)$ un sesgo de simetría del tensor, como Makinen dijo?

Muchas gracias!

Referencias:

Mäkinen, Jari, la Rotación del colector $\mathrm{SO}(3)$ y su: vectores, Comput. Mech. 42, Nº 6, 907-919 (2008). ZBL1163.74472.

Simo, J. C.; Vu-Quoc, L., Sobre la dinámica en el espacio de las barras sometidas a movimientos grandes - Un geométricamente exacto de enfoque, Comput. Métodos De Appl. Mech. Ing. 66, Nº 2, 125-161 (1988). ZBL0618.73100.

Answer 1

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Lie}[1]{\mathfrak{#1}}$Esta es una respuesta matemática, y puede requerir de post-procesamiento (por ejemplo, la traducción de nuevo en la ingeniería de idioma) para ser útil a usted como ingeniero.

En general, si $G$ es una Mentira grupo (tales como la rotación de grupo $SO(n)$) y $\Lie{g} = T_{e}G$ es su Mentira álgebra (como $\Lie{so}(n)$, el espacio de sesgar-simétrica $n \times n$ real de las matrices), la tangente paquete es trivial a través de $$ G \times \Mentira{g} \simeq TG,\quad (g, v) \mapsto (L_{g})_{*}(v). $$

Si $G \subset \Reals^{n^{2}}$ es una matriz del grupo, a continuación, $\Lie{g}$ puede ser identificado con un subespacio vectorial de $\Reals^{n^{2}}$, y el paquete de isomorfismo anteriormente, asciende a $$ (R, \tilde{\Theta}) \mapsto (R, R\tilde{\Theta}). \etiqueta{1} $$

1. Yo no diría que es una cuestión de una definición más precisa que la de los otros, más una cuestión de que la identificación en (1) es más útil en una situación específica.

2. A pesar de $\tilde{\Theta} \in \Lie{so}(n) = T_{I} SO(n)$ es sesgar-simétrica, el producto $R\tilde{\Theta}$ generalmente no lo es. En su lugar, $$ (R\tilde{\Theta})^{T} = \tilde{\Theta}^{T} R^{T} = -\tilde{\Theta} R^{-1}. $$

Por último, en caso de que sea útil, la forma en que la definición de Simo et al. está escrito, parece como si sólo el producto $R\tilde{\Theta}$ es retenido,$R$, el "punto de tangencia", implícito. Por analogía, la tangente del paquete de la unidad de círculo puede ser visto de dos maneras:

• Como el cilindro $S^{1} \times \Reals \subset S^{1} \times \Reals^{2}$.

• Como la familia de la tangente a las líneas del círculo en $\Reals^{2}$.

Un punto de $\Reals^{2}$ fuera del círculo (de forma análoga a un producto $R\tilde{\Theta}$) sólo representa un vector tangente una vez que el punto de tangencia $R$ es especificado.