Distribución del tiempo de muchos pequeños relojes en movimiento termal

Question

Supongamos que hacemos muchos muy pequeños relojes de esas que están sujetos al movimiento térmico.

Para simplificar las cosas, supongamos que en algún momento $t_0$ todos sus tiempos están sincronizados (sí que está en estrecha proximidad). A continuación, compruebe en ellos en algún momento posterior y el gráfico de la distribución de las distintas medidas de tiempo.

Parece evidente que un reloj no se mueve en absoluto (en nuestro marco de referencia) registrará el mayor cambio de hora, y habrá una distribución de otros que grabar varias menor intervalos de tiempo. Evidentemente, dicha distribución depende de la masa y la temperatura de los relojes, pero tenía curiosidad acerca de la forma general de dicha distribución. Cualquier pensamiento o lugares que yo pude ver?

Este es un sistema clásico, me sale que la teoría cuántica en general, entran en juego aquí

EDITAR:

Esto debería ser resueltos utilizando la de Maxwell-Boltzmann distribución:

$$f(v)=\left(1/2\pi a\right)^{3}4\pi v^{2}e^{\frac{-1}{2}\left(\frac{v}{a}\right)^{2}}$$

donde $a=\sqrt{kT/m}$ (T y m, siendo la temperatura y la masa de nuestros relojes, respectivamente). El tiempo medido por un azar de reloj seleccionada, entonces es:

$$\Delta t=\int_{t_{2}}^{t_{1}}dt\gamma^{-1}$$

Donde dt es la de los observadores (no de relojes en movimiento') en el tiempo apropiado, y el factor de Lorentz gamma va a depender de la probabilidad de que la partícula tiene una velocidad determinada, en algún momento en particular. No estoy seguro de cómo proceder con esto, pero ya que parece un problema interesante si se considera que nuestros constituyentes partes están continuamente recibiendo "untado" en el tiempo. No hay duda de que es físicamente mensurable consecuencia de esto. O tal vez debería usar el paseo aleatorio?

EDICIÓN 1

A la dirección de Rennie comentarios a continuación, se ha afirmado que los relojes se van hacia el mismo tiempo. es decir. todos los de su tiempo individual-velocidades promedio convergerán. El problema con esto es que para Cualquier arbitrariamente grande (pero no infinito) paseo aleatorio en la velocidad de espacio, el promedio de la necesidad de no caer en el cero, y de hecho siempre hay una probabilidad finita de que caiga muy lejos de cero (el más pasos en el caminar más lejos, posiblemente, podría ser, pero sí que la probabilidad también va hacia abajo).

Además, si los relojes estaban en equilibrio antes de la sincronización de su época (una razonable propuesta), el origen de cada uno de los relojes de paseo aleatorio (en la velocidad en el espacio) podría variar por una probabilidad dependiendo de la fase inicial (de Maxwell-Boltzmann) distribución de la velocidad, de tal manera que incluso después de una cantidad infinita de tiempo de los relojes sería muy fuera de sincronización.

Estoy preguntando sobre la forma de dicha distribución para una puramente térmico del sistema en lo que se refiere al intervalo de tiempo que el experimentado por este cuerpo en relación a otro de haber mantenido un marco inercial de forma consistente. ¿Cuál es la distribución de los relojes de las mediciones en el tiempo. Me cuesta creer que todos estarían sincronizados como Rennie dice, este tipo de comportamiento va en contra de un máximo de entropía de estado

Answer 1

Vamos a hacer algunas suposiciones. Mi conocimiento de la teoría de la relatividad es básico, mientras que la de la mecánica cuántica es insignificante, por lo que alguien con más conocimientos sobre estos temas puede hacer comentarios sobre cómo realista de las siguientes hipótesis.

En primer lugar, vamos a tomar las moléculas de un gas ideal a ser nuestros relojes. Algunos periódicos proceso interno dentro de la molécula debe actuar como un reloj. Vamos a suponer que cada vez que el intercambio de energía entre las moléculas se produce debido a una colisión que se manifiesta en su totalidad de la energía cinética de las moléculas implicadas. En lo que sigue, cada vez que se habla de tiempo que significa el tiempo de un observador w.r.t. quien la media de movimiento de las moléculas es igual a cero.

Deje $g(s)$ ser la función de densidad de probabilidad tal que $g(s)\delta s$ da la probabilidad de que cualquier molécula viaja una distancia acostado en el intervalo de $[s,s+\delta s]$ entre consecutivos colisiones. Deje $f(v)$ ser la función de densidad de probabilidad para la velocidad molecular $v$. Vamos a asumir que $f$ $g$ son estadísticamente independientes. Esto significa que el conocimiento de que una molécula tiene velocidad $v$ no altera los valores de probabilidad para el vuelo de distancia $s$ entre colisiones, y viceversa. Entonces la probabilidad de que una molécula que tiene la velocidad $v$ y la distancia del vuelo $s$ (entre consecutivos colisiones) es, simplemente,$f(v)g(s)$.

Para una velocidad dada $v$, una molécula en vuelo para una distancia de $s$ medidas de un tiempo apropiado,$\tau=(s/v)\sqrt{1-v^2}$, $c=1$ unidades. Para un determinado $v$, la probabilidad de que la medida de la época de la molécula de es $\leq \tau$ es igual a la probabilidad de que $(s/v)\sqrt{1-v^2}\leq\tau$ es decir $s\leq \tau v/\sqrt{1-v^2}$. La contabilidad para todos los posibles valores de $v$, el c.d.f. para$\tau$, se obtiene: \begin{align} P(\tau)=\int_0^1dv~f(v)G(\tau v/\sqrt{1-v^2}) \end{align} donde $G$ es el c.d.f. correspondiente a la p.d.f. $g$. El p.d.f. para $\tau$ es: \begin{align} p(\tau)=\frac{dP}{d\tau}=\int_0^1dv~\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}f(v)g(\tau v/\sqrt{1-v^2}) \end{align}

El uso de $p(\tau)$, se puede calcular la media y la varianza de tiempo apropiado, $\tau$ si existe: $\mu_\tau,\sigma^2_\tau$. Esto es para una colisión. Para $n$ colisiones el total medido en el tiempo apropiado, de una molécula es $T_n=\tau_1+\tau_2+...+\tau_n$. Si la varianza $\sigma^2_\tau$ es finito, entonces suponiendo que $\tau_i$ son variables independientes, en virtud del teorema central del límite , tenemos (para grandes $n$, lo que ocurre más de una buena cantidad de tiempo de observación): \begin{align} z_n & \equiv \frac{T_n-n\mu_\tau}{\sqrt{n}\sigma_\tau} \\ \phi(z_n) & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z_n^2/2} \end{align}

Esto demuestra que es prácticamente cierto (para $n$) que todas las moléculas que se han medido el mismo momento adecuado, igual a $n\mu_\tau$.

P. S. yo no podía encontrar una expresión para $g(s)$ en los eslabones de la teoría cinética de los gases. Alguien sabe?

Answer 2

Si usted está pensando en términos de un relativista de distribución, entonces usted probablemente debería utilizar la de Maxwell–Jüttner de distribución.

Sin embargo, con respecto a los comentarios de @Juan-Rennie en el momento de la dilatación de promediar, yo creo que tu confusión se encuentra con la forma de pensar de la distribución de velocidades.

La distribución sólo describe la probabilidad de todo el conjunto, y más de una lo suficientemente grande escala de tiempo para un promedio de tomar el lugar que dar velocidad.

Sí no decir que una partícula en un determinado velocidad o a permanecer en ella por cualquier medibles período.

Todo el principio de un tratamiento estadístico de este tipo es que el movimiento de las partículas individuales no es sólo azar, sino que las interacciones son pequeñas y que las medidas a tomar lugar a través de una escala de tiempo que media el efecto de las interacciones.

Son, en efecto, tratando de seguir las partículas individuales, lo que tiene sentido en el contexto de una distribución estadística como este.

Cada partícula es "empujado" por el resto y va a tener muchas direcciones y velocidades en el período de tiempo necesario para que la distribución sea válida.

Si intenta medir la distribución de las partículas sobre un menor escala de tiempo que evitaría que el promedio, entonces el resultado podría ser la distribución de cualquier forma que conserva conserva cantidades. Por ejemplo, podría ser una distribución con ninguna de las partículas a velocidades en el rango medio. La siguiente instantánea que tomó puede ser completamente diferente.

Es el promedio de tiempo de las interacciones y sus efectos que permite una distribución de tener significado.

Su idea sólo sería válido si las partículas no interactúan en todo y no eran limitados y simplemente voló hacia el espacio sin obstáculos.